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ホップ代数を用いたスーパー代数群の研究

用Hopf代数研究超代数群

基本信息

批准号：
14J02022
负责人：
柴田大樹
金额：
$ 1.22万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2014
资助国家：
日本
起止时间：
2014-04-25 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究の目的はホップ代数的手法を用いることで，これまで個別にされてきたスーパー代数群の表現論を統一的に見通しよく研究することである．ここに基礎体の標数は任意である．付随する通常の代数群が分裂簡約であるようなスーパー代数群を"準簡約スーパー群"と呼ぶことにする．前年度まで研究してきたシュヴァレー・スーパー群，一般線型スーパー群，BrundanとKleshchev(2003)が研究したスーパー群Q(n)はみな準簡約であり，準簡約スーパー群のクラスは重要な例を含んでいると分かる．今年度は前年度の結果を含むより一般の結果として，準簡約スーパー群の既約表現の構成と分類，およびコホモロジーの研究等を組織的に行なった．得られた研究成果は学位論文に纏めた．以下にその詳細を説明する．基礎体が標数0の代数閉体の場合，準簡約スーパー群Gの既約表現の構成は既にSerganova(2011)によってなされていたが，その手法はスーパー・リー代数Lie(G)を用いたものであり，基礎体が正標数のときは同様の構成を行うことはできないという問題点があった．本研究ではGの表現とスーパー・ハイパー代数hy(G)の可積分表現との間の一対一対応を示すことによりこの問題を解決し，任意標数の体上で既約表現の構成に成功した．またGが「よい放物スーパー部分群」を持てば，既約表現をパラメータ付けるウェイトの集合が完全に決定されることを示した．この条件を満たすものは一般線型スーパー群やI型のシュヴァレー・スーパー群などがある．さらにこのとき高次のコホモロジーが消滅するという"ケンプ消滅定理"のスーパー版が成立することが分かった．その系としてオイラー指標を書き下すことにも成功した．一般線型スーパー群の場合はZubkov(2006)が具体的な行列表示を用いて示していたが，本研究ではそれとは異なる手法でより理論的に導出したことになる．

The purpose of this study is to study the representation theory of algebraic groups individually and uniformly. The number of basic objects is arbitrary. The algebraic group is divided into two groups: quasi-reduction group and quasi-reduction group. In the previous year, Brundan and Kleshchev(2003) studied the group Q(n) and quasi-reduced the group Q(n). This year's results include general results, quasi-reduced performance, classification, research, etc. The results of this research are as follows: The following is a detailed description. In the case of algebraic closed bodies of base bodies with index number 0, the composition of the reduced representation of quasi-reduced group G is reversed by Serganova(2011), and the method is reversed by Lie(G). In this study, we solve the problem of the one-to-one representation of G and the integrable representation of the Sipra-Hiipra-algebra hy(G), and successfully construct the irreducible representation of any scalar number over the body. The expression "the middle part of the object" is maintained, and the expression "the middle part of the object" is completely determined. This condition is applicable to both general linear models and I-type models. The first edition of the theory of annihilation is established. The system was successful. Zubkov(2006), a general linear group, uses different methods to derive the specific matrix representation.