ホップ代数を用いたスーパー代数群の研究

本研究の目的はホップ代数的手法を用いることで，これまで個別にされてきたスーパー代数群の表現論を統一的に見通しよく研究することである．ここに基礎体の標数は任意である．付随する通常の代数群が分裂簡約であるようなスーパー代数群を"準簡約スーパー群"と呼ぶことにする．前年度まで研究してきたシュヴァレー・スーパー群，一般線型スーパー群，BrundanとKleshchev(2003)が研究したスーパー群Q(n)はみな準簡約であり，準簡約スーパー群のクラスは重要な例を含んでいると分かる．今年度は前年度の結果を含むより一般の結果として，準簡約スーパー群の既約表現の構成と分類，およびコホモロジーの研究等を組織的に行なった．得られた研究成果は学位論文に纏めた．以下にその詳細を説明する．基礎体が標数0の代数閉体の場合，準簡約スーパー群Gの既約表現の構成は既にSerganova(2011)によってなされていたが，その手法はスーパー・リー代数Lie(G)を用いたものであり，基礎体が正標数のときは同様の構成を行うことはできないという問題点があった．本研究ではGの表現とスーパー・ハイパー代数hy(G)の可積分表現との間の一対一対応を示すことによりこの問題を解決し，任意標数の体上で既約表現の構成に成功した．またGが「よい放物スーパー部分群」を持てば，既約表現をパラメータ付けるウェイトの集合が完全に決定されることを示した．この条件を満たすものは一般線型スーパー群やI型のシュヴァレー・スーパー群などがある．さらにこのとき高次のコホモロジーが消滅するという"ケンプ消滅定理"のスーパー版が成立することが分かった．その系としてオイラー指標を書き下すことにも成功した．一般線型スーパー群の場合はZubkov(2006)が具体的な行列表示を用いて示していたが，本研究ではそれとは異なる手法でより理論的に導出したことになる．

本研究の目的はホップ代数的手法を用いることで，これまで個別にされてきたスーパー代数群の表現論を統一的に見通しよく研究することである．ここに基礎体の標数は任意である．付随する通常の代数群が分裂簡約であるようなスーパー代数群を"準簡約スーパー群"と呼ぶことにする．前年度まで研究してきたシュヴァレー・スーパー群，一般線型スーパー群，BrundanとKleshchev(2003)が研究したスーパー群Q(n)はみな準簡約であり，準簡約スーパー群のクラスは重要な例を含んでいると分かる．今年度は前年度の結果を含むより一般の結果として，準簡約スーパー群の既約表現の構成と分類，およびコホモロジーの研究等を組織的に行なった．得られた研究成果は学位論文に纏めた．以下にその詳細を説明する．基礎体が標数0の代数閉体の場合，準簡約スーパー群Gの既約表現の構成は既にSerganova(2011)によってなされていたが，その手法はスーパー・リー代数Lie(G)を用いたものであり，基礎体が正標数のときは同様の構成を行うことはできないという問題点があった．本研究ではGの表現とスーパー・ハイパー代数hy(G)の可積分表現との間の一対一対応を示すことによりこの問題を解決し，任意標数の体上で既約表現の構成に成功した．またGが「よい放物スーパー部分群」を持てば，既約表現をパラメータ付けるウェイトの集合が完全に決定されることを示した．この条件を満たすものは一般線型スーパー群やI型のシュヴァレー・スーパー群などがある．さらにこのとき高次のコホモロジーが消滅するという"ケンプ消滅定理"のスーパー版が成立することが分かった．その系としてオイラー指標を書き下すことにも成功した．一般線型スーパー群の場合はZubkov(2006)が具体的な行列表示を用いて示していたが，本研究ではそれとは異なる手法でより理論的に導出したことになる．