単位円の外部における単葉函数の係数評価

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幾何学的函数論において単葉函数の研究は単位円の内部に関してはド・ブランジュによってビーベルバッハの予想が証明され大いに躍進したものの，単位円の外部を定義領域とする単葉な複素有理型函数のクラス（以後：クラスΣ）については未解決の問題が多い．以前より本研究員はクラスΣの特殊例である凹函数に着目して様々な成果を上げてきた．その結果の一つを使用した上で，単位円の内部に極を持つ凹函数の原点でのベキ級数展開の係数に関してフェケテ・セゲー型の最良不等式が証明できた．特に，この結果を得るために，単位円板を自身へ解析的に写し，原点以外に与えられた点を固定するような写像の原点におけるベキ級数展開の係数領域を組織的に評価する方法を確立した．この方法を用いて，二次のハンケル行列式に関する（最良ではないものの）精密な評価式も得ることが可能であった．その際，推察される極限函数によって与えられる予測された最大の範囲を超えて値が観測され，これまで先行研究などで使用された極限函数が使用出来ないことも確認できた．同時に上記の方法が一つの問題にのみ使用される限定的なものではなく，今後も活用できる新たな手法であることが確かめられた．これらは共同研究にて得られた結果であり，二つの論文にまとめ，内一つは既に掲載が確定している．さらに一般的なクラスΣの係数評価に関しては既知の方法と偏微分方程式を組み合わせた新たな手法に着手しているが証明にまでは残念ながら至っていない。また、平成２７年５月にアメリカのシンシナティで開かれた研究集会に参加し，幾何学的函数論で長年活躍してきた研究者と交流を持つことが叶い，多くの意見をいただけた．国内では様々な国際会議や研究集会でこれまでの成果を発表をする機会が与えられ，平成２８年３月の日本数学会にて二つの発表をして上記の成果を紹介した．