ラフパス解析の分数階微積分に基づく研究

今年度はラフパス解析の基礎的研究に前年度に引き続き取り組みました．特に，ラフパス解析における線積分概念であるラフ積分について以下の結果を得ました．まず，前年度までに導入した分数階微分作用素を用いたラフ積分が，ヘルダー指数が1/3より大きい場合に，幾何学的とは限らないラフパスに対しても従前のラフ積分に一致することを証明しました．この結果により，ヘルダー指数が1/3より大きい場合には，ラフ積分の区間の加法性に関する前年度までの課題が解決され，M. Gubinelli(2004)によるラフ微分方程式の取り扱いを本研究の枠組に直接適用することが可能となり，前年度の結果の改良にも成功しました．次に，M. Gubinelli(2004)による被制御パスに関する積分の分数階微分作用素を用いた明示的な表現式の導出に成功しました．この積分はヘルダー指数が1/3より大きい場合の従前のラフ積分の一般化を与えており，特に，T. J. Lyons(1998)によるラフ積分の第1レベル及び第2レベルのパスを含む形の一般化であることが知られています．従って，この結果により，T. J. Lyons(1998)によるラフ積分の第2レベル以上のパスに関する前年度までの課題が部分的に解決されるとともに，ヘルダー指数が1/3より大きい場合には，T. J. Lyons(1998)によるラフ微分方程式の取り扱いを本研究の枠組に適用することが可能となりました．以上の結果により，以前より残されていた課題がほぼ解決されたとともに，ラフパス解析を用いた様々な応用を考察する際に重要な結果を得たと考えられるので，今年度の研究で充分満足のいく成果を得たといえます．

今年度はラフパス解析の基礎的研究に前年度に引き続き取り組みました．特に，ラフパス解析における線積分概念であるラフ積分について以下の結果を得ました．まず，前年度までに導入した分数階微分作用素を用いたラフ積分が，ヘルダー指数が1/3より大きい場合に，幾何学的とは限らないラフパスに対しても従前のラフ積分に一致することを証明しました．この結果により，ヘルダー指数が1/3より大きい場合には，ラフ積分の区間の加法性に関する前年度までの課題が解決され，M. Gubinelli(2004)によるラフ微分方程式の取り扱いを本研究の枠組に直接適用することが可能となり，前年度の結果の改良にも成功しました．次に，M. Gubinelli(2004)による被制御パスに関する積分の分数階微分作用素を用いた明示的な表現式の導出に成功しました．この積分はヘルダー指数が1/3より大きい場合の従前のラフ積分の一般化を与えており，特に，T. J. Lyons(1998)によるラフ積分の第1レベル及び第2レベルのパスを含む形の一般化であることが知られています．従って，この結果により，T. J. Lyons(1998)によるラフ積分の第2レベル以上のパスに関する前年度までの課題が部分的に解決されるとともに，ヘルダー指数が1/3より大きい場合には，T. J. Lyons(1998)によるラフ微分方程式の取り扱いを本研究の枠組に適用することが可能となりました．以上の結果により，以前より残されていた課題がほぼ解決されたとともに，ラフパス解析を用いた様々な応用を考察する際に重要な結果を得たと考えられるので，今年度の研究で充分満足のいく成果を得たといえます．