複素解析に基づいたラフパス理論の研究

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本年度は引き続きラフパス理論の基礎研究に取り組み、ラフパス理論における線積分(ラフ積分)に関する研究成果を得た。特に、本研究のラフ積分の積分区間に関する加法性を証明した。本研究のラフ積分はHu-Nualart(2009)及びIto(2019)により導入された。ラフ積分の積分区間に関する加法性はラフ積分の最も基本的な性質であるとともに、例えば、ラフパスで駆動される微分方程式(ラフ微分方程式)の解の存在、一意性、連続性の証明に用いられる。Ito(2019)により、本研究のラフ積分と通常のラフ積分が一致することは示されているため、通常のラフ積分の積分区間に関する加法性から、本研究のラフ積分の積分区間に関する加法性を導くことができる。しかし、本研究のラフ積分の定義式において、左側非整数階微分と右側非整数階微分がそれぞれ積分区間の左端点と右端点に強く依存しているため、通常のラフ積分を経由せずに本研究のラフ積分の積分区間に関する加法性を示すことは自明でなく、昨年度までも取り組んできたが証明には至らなかった。本年度、ラフ微分方程式に関する研究に取り組む中で、これまでの計算結果を新たに見直し更に推し進めることができ、本研究のラフ積分の積分区間に関する加法性について、通常のラフ積分を経由しないより直接的な証明を得ることに成功した。証明に用いた議論は先行研究の議論よりも簡明であるとともに、積分区間に関する加法性が成立するための条件を緩められる可能性があり、今後の研究においても重要であると考えている。以上の研究成果を論文としてまとめ学術雑誌に投稿した。また、昨年度の研究成果は査読付き論文として学術雑誌に掲載が決定した。