拡散方程式と非線形境界条件

本年度は研究計画に則り，非線形境界条件付き熱方程式に関する研究を行った．昨年度までに得られた，以下の結果について論文にまとめ，国際的な論文雑誌への掲載が決定した．初期値の局所的な特異性と解の存在との関係，初期値の空間遠方での増大度と解の存在との関係を発展させて，解の最大存在時間の挙動は初期値の境界近傍での振る舞いによって評価されることを示した．これは非線形性が境界条件にあるという，本研究で扱う問題がもつ特色を反映した結果であると言える．これらの結果から，解の爆発に関して，初期値や解の境界近傍での情報から決定できないか，という新たな問題意識が芽生えた．本年度は，これまで主に取り扱ってきた，線形の熱方程式から，多孔質媒質方程式に拡張した研究にも取り組み始めた．多孔質媒質方程式に代表されるような非線形拡散方程式に対しては線形熱方程式に対して非常に強力な解析手法が適用できない場合が多くあり，その解析が困難となることが多々ある．しかしながら本研究で扱っていた手法は弱階の枠組みであるため，多孔質媒質方程式を含んだ，広範な発散型の問題に対しても有効な手法であると考えていた．実際，多孔質媒質方程式に非線形境界条件を課した問題や，ベキ乗型非線形項を加えた問題に対しても解の存在が証明できる．今後はこれらの新しい問題を解決し，その応用として解の爆発問題に取り組み，論文としてまとめ，研究成果を発表していく予定である．

本年度は研究計画に則り，非線形境界条件付き熱方程式に関する研究を行った．昨年度までに得られた，以下の結果について論文にまとめ，国際的な論文雑誌への掲載が決定した．初期値の局所的な特異性と解の存在との関係，初期値の空間遠方での増大度と解の存在との関係を発展させて，解の最大存在時間の挙動は初期値の境界近傍での振る舞いによって評価されることを示した．これは非線形性が境界条件にあるという，本研究で扱う問題がもつ特色を反映した結果であると言える．これらの結果から，解の爆発に関して，初期値や解の境界近傍での情報から決定できないか，という新たな問題意識が芽生えた．本年度は，これまで主に取り扱ってきた，線形の熱方程式から，多孔質媒質方程式に拡張した研究にも取り組み始めた．多孔質媒質方程式に代表されるような非線形拡散方程式に対しては線形熱方程式に対して非常に強力な解析手法が適用できない場合が多くあり，その解析が困難となることが多々ある．しかしながら本研究で扱っていた手法は弱階の枠組みであるため，多孔質媒質方程式を含んだ，広範な発散型の問題に対しても有効な手法であると考えていた．実際，多孔質媒質方程式に非線形境界条件を課した問題や，ベキ乗型非線形項を加えた問題に対しても解の存在が証明できる．今後はこれらの新しい問題を解決し，その応用として解の爆発問題に取り組み，論文としてまとめ，研究成果を発表していく予定である．