拡散方程式と非線形境界条件

扩散方程和非线性边界条件

• 批准号: 14J04154
• 负责人: 佐藤 龍一
• 金额: $ 1.79万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2014
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2014-04-25 至 2017-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14J04154/
• 关键词: 拡散方程式; 非線形境界条件; 放物型方程式; 初期値問題; 解の爆発

本年度は研究計画に則り，非線形境界条件付き熱方程式に関する研究を行った．昨年度までに得られた，以下の結果について論文にまとめ，国際的な論文雑誌への掲載が決定した．初期値の局所的な特異性と解の存在との関係，初期値の空間遠方での増大度と解の存在との関係を発展させて，解の最大存在時間の挙動は初期値の境界近傍での振る舞いによって評価されることを示した．これは非線形性が境界条件にあるという，本研究で扱う問題がもつ特色を反映した結果であると言える．これらの結果から，解の爆発に関して，初期値や解の境界近傍での情報から決定できないか，という新たな問題意識が芽生えた．本年度は，これまで主に取り扱ってきた，線形の熱方程式から，多孔質媒質方程式に拡張した研究にも取り組み始めた．多孔質媒質方程式に代表されるような非線形拡散方程式に対しては線形熱方程式に対して非常に強力な解析手法が適用できない場合が多くあり，その解析が困難となることが多々ある．しかしながら本研究で扱っていた手法は弱階の枠組みであるため，多孔質媒質方程式を含んだ，広範な発散型の問題に対しても有効な手法であると考えていた．実際，多孔質媒質方程式に非線形境界条件を課した問題や，ベキ乗型非線形項を加えた問題に対しても解の存在が証明できる．今後はこれらの新しい問題を解決し，その応用として解の爆発問題に取り組み，論文としてまとめ，研究成果を発表していく予定である．

今年，我们根据研究计划对非线性边界条件热方程进行了研究。在去年获得的以下结果已汇编为论文，并决定在国际期刊上发表。我们开发了初始值的局部奇异性与解决方案的存在之间的关系，以及距离空间距离距离的初始值的增加与解决方案的存在之间的关系，并表明解决方案存在时间的最长行为是通过在初始值边界附近的行为来评估的。可以说这是反映本研究中问题的特征的结果，例如非线性处于边界条件。这些结果导致对解决方案边界附近的初始值和信息是否可以确定解决方案爆炸的问题有了新的认识。今年，我们还开始从事扩展线性热方程的研究，该方程主要是到目前为止，该方程主要处理到了多孔培养基方程。对于非线性扩散方程，例如多孔介质方程，非常强大的分析方法通常不适用于线性热方程，并且对这些方法的分析通常很困难。但是，由于本研究中涵盖的方法是一个较弱的框架，因此我们认为这将是多种不同问题（包括多孔介质方程）的有效方法。实际上，有可能证明解决方案存在于在多孔介质方程上施加非线性边界条件的问题，以及添加功率动力非线性项的问题。将来，我们计划解决这些新问题，解决解决方案作为应用程序的爆炸，将其编译为论文，并提出研究结果。

项目成果

HEAT EQUATION WITH A NONLINEAR BOUNDARY CONDITION AND UNIFORMLY LOCAL L^r SPACES

具有非线性边界条件和均匀局部L^r空间的热方程

• 发表时间: 2016
• 期刊: DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS
• 影响因子: 1.1
• 作者: 宇佐美文理;小笠智章;古勝亮;焦コン;中純夫;福谷彬;福谷 彬;福谷 彬;福谷彬;Kazuhiro Ishige and Ryuichi Sato;K. Ishige and R. Sato
• 通讯作者: K. Ishige and R. Sato

Heat equation with a nonlinear boundary condition and uniformly local$ L^r$ spaces

具有非线性边界条件和均匀局部 $ L^r$ 空间的热方程

• 发表时间: 2015
• 作者: 宇佐美文理;小笠智章;古勝亮;焦コン;中純夫;福谷彬;福谷 彬;福谷 彬;福谷彬;Kazuhiro Ishige and Ryuichi Sato;K. Ishige and R. Sato;佐藤龍一;佐藤龍一;佐藤龍一;佐藤龍一;佐藤龍一;佐藤龍一
• 通讯作者: 佐藤龍一

Heat equation with a nonlinear boundary condition and unbounded initial functions

具有非线性边界条件和无界初始函数的热方程

• 发表时间: 2014
• 作者: 宇佐美文理;小笠智章;古勝亮;焦コン;中純夫;福谷彬;福谷 彬;福谷 彬;福谷彬;Kazuhiro Ishige and Ryuichi Sato;K. Ishige and R. Sato;佐藤龍一;佐藤龍一;佐藤龍一;佐藤龍一;佐藤龍一;佐藤龍一;Ryuichi Sato;Ryuichi Sato;佐藤龍一
• 通讯作者: 佐藤龍一

Heat equation with a nonlinear boundary condition and growing initial data

具有非线性边界条件和不断增长的初始数据的热方程

• 发表时间: 2017
• 期刊: Differential and Integral Equations
• 影响因子: 1.4
• 作者: 宇佐美文理;小笠智章;古勝亮;焦コン;中純夫;福谷彬;福谷 彬;福谷 彬;福谷彬;Kazuhiro Ishige and Ryuichi Sato
• 通讯作者: Kazuhiro Ishige and Ryuichi Sato

Heat equation with a nonlinear boundary condition and uniformly local $L^r$ spaces

具有非线性边界条件和均匀局部 $L^r$ 空间的热方程

• 发表时间: 2015
• 作者: 宇佐美文理;小笠智章;古勝亮;焦コン;中純夫;福谷彬;福谷 彬;福谷 彬;福谷彬;Kazuhiro Ishige and Ryuichi Sato;K. Ishige and R. Sato;佐藤龍一;佐藤龍一;佐藤龍一;佐藤龍一;佐藤龍一;佐藤龍一;Ryuichi Sato;Ryuichi Sato
• 通讯作者: Ryuichi Sato