超局所解析および調和解析を用いた消散型波動方程式の解の漸近挙動の研究

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空間変数に依存する摩擦項をもつ線形波動方程式に対して，摩擦が効果的に働く場合の解の漸近挙動について研究を行った．先行研究では全空間かつ特別な形の摩擦項に対し，解が対応する熱方程式の解に漸近すること（拡散現象）が示されていたが，本研究では側島基宏氏（東京理科大学）の協力のもと，これを一般の外部領域および摩擦項に対し拡張を行った．証明は対応する熱半群に対する評価と，消散型波動方程式に対する重み付きエネルギー評価を組み合わせることにより行った．一般の摩擦項を取り扱うにあたって，適当な重み関数を構成するため，摩擦項の係数を右辺にもつPoisson方程式の可解性について考察を行った．摩擦に球対称性を課さない場合には，このPoisson方程式には適切な遠方の挙動をもつ解が一般には存在しない点が困難であったが，この問題はPoisson方程式を誤差を許容した不等式に置き換えることで解決した．また，池田正弘氏（京都大学），藤原和将氏（早稲田大学）の協力のもと，時間変数に依存する摩擦項をもつ非線形波動方程式に対し，解の爆発，最大存在時間の評価および解の爆発率の研究を行った．解の最大存在時間については対応する熱方程式と同じ評価が成立することを示し，さらに解の爆発率については対応する波動方程式と同じ評価が得られることを示した．証明は空間変数に依存する適切な重み付きの積分平均に対する常微分方程式を導出し，この常微分方程式に対し適当な劣解を構成することにより行った．また，解の最大存在時間の下からの評価には，前年度の研究で開発したスケール変換による方法を用いることにより，最良な評価を得ることができた．