グラフ理論的基盤の刷新による離散アルゴリズム設計の統一的理論の新展開

当該年度においてはまず，一般のグラフを対象とする Dulmage-Mendelsohn 分解を提案し，これにより1-マッチングの理論における標準分解理論および双対理論の総仕上げを達成した．古典的なDulmage-Mendelsohn分解とは特殊なグラフクラスである二部グラフのみを対象とする標準分解であり，これはグラフ理論のみならず線形計算やマトロイド最適化理論など多岐に渡る文脈において理論展開の要となってきた．本研究では近年 Kita (2012~)によって提案された標準分解の一つであるグラフのカテドラル分解を用いることによって Dulmage-Mendelsohn 分解の一般化を導出した．これは1-マッチング理論における双対性であるベルジュ双対との親和性を呈しており，1-マッチングの双対概念に相当するバリア（barrier）の構造的特徴づけが本研究の成果によって初めて達成された．ここではグラフにより定まるあるポセットのイデアルの観点によってバリアの特徴付けが記述されている．これはバリアの構造に関する既知の部分的成果各々の一般化を含んでいる．また一方で，双向グラフ（符号グラフ）の強連結分解理論の提案を行った．双向グラフ（符号グラフ）とは，有向グラフと枝符号グラフの共通の一般化である．有向グラフの理論においてもっとも基本的な構造は，強連結分解とよばれる分解型構造定理である．本研究では，双向グラフの理論構築の要となるべき強連結分解タイプの構造定理を導出した．この成果を用いることでさらに新しい成果である次数制約因子のカテドラル標準分解を導出した．次数制約因子とは1-マッチングの一般化に相当し,より広範な記述力を持つ，因子理論の古典的概念である．この成果により次数制約因子の構造を標準的に把握することが可能になった．

当該年度においてはまず，一般のグラフを対象とする Dulmage-Mendelsohn 分解を提案し，これにより1-マッチングの理論における標準分解理論および双対理論の総仕上げを達成した．古典的なDulmage-Mendelsohn分解とは特殊なグラフクラスである二部グラフのみを対象とする標準分解であり，これはグラフ理論のみならず線形計算やマトロイド最適化理論など多岐に渡る文脈において理論展開の要となってきた．本研究では近年 Kita (2012~)によって提案された標準分解の一つであるグラフのカテドラル分解を用いることによって Dulmage-Mendelsohn 分解の一般化を導出した．これは1-マッチング理論における双対性であるベルジュ双対との親和性を呈しており，1-マッチングの双対概念に相当するバリア（barrier）の構造的特徴づけが本研究の成果によって初めて達成された．ここではグラフにより定まるあるポセットのイデアルの観点によってバリアの特徴付けが記述されている．これはバリアの構造に関する既知の部分的成果各々の一般化を含んでいる．また一方で，双向グラフ（符号グラフ）の強連結分解理論の提案を行った．双向グラフ（符号グラフ）とは，有向グラフと枝符号グラフの共通の一般化である．有向グラフの理論においてもっとも基本的な構造は，強連結分解とよばれる分解型構造定理である．本研究では，双向グラフの理論構築の要となるべき強連結分解タイプの構造定理を導出した．この成果を用いることでさらに新しい成果である次数制約因子のカテドラル標準分解を導出した．次数制約因子とは1-マッチングの一般化に相当し,より広範な記述力を持つ，因子理論の古典的概念である．この成果により次数制約因子の構造を標準的に把握することが可能になった．