幾何学的群論の観点からの曲線複体の解明とその写像類群への応用

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群をグラフという幾何学的対象と見なして群の性質を解明するものが幾何学的群論である． 曲面の写像類群とは，曲面上の (向き付け可能曲面の場合は, 向きを保つ) 微分同相写像のアイソトピー類全体の成す群のことである. 私はこの写像類群に興味を持って，幾何学的群論の視点から写像類群を解明することに取り組んでいる. 今年度は以下の2つの研究に取り組んだ．(1)有限グラフのright-angled Artin group (以下RAAGと略す)は，いわば自由群と自由アーベル群の中間と思える群であるが故，写像類群がどのRAAG を部分群に含むかという研究が現在活発に行われている．そのような研究動向の中で，本研究の目標は，任意の有限グラフに対してそのRAAGが写像類群の部分群となるときの，曲面の複雑度が最も小さい曲面を求めることである. なお，本研究は広島大学の片山拓弥氏との共同研究である．そして私たちは，任意の道グラフの補グラフのRAAGに対してこの問題を解決した．現在，この内容について論文に纏めている．(2)2017年9月30日から2017年10月13日まで，ポーランドのグダニスク大学のBlazej Szepietowski氏の研究室に滞在した．この滞在期間中にSzepietowski氏と議論をし，次の結果を導いた．「向き付け不可能曲面に対して，ある有限グラフが存在して，グラフは曲線グラフのfull subgraph であるが，そのRAAGは写像類群の部分群にならない．」向き付け可能曲面の場合には，Koberdaが「任意の有限グラフに対して，グラフが曲線グラフのfull subgraph ならば，そのRAAGは写像類群の部分群になる」ことを示している．向き付け不可能曲面の場合には，向き付け可能曲面の結果と異なることが分かった．