ＡＤＥ型メッシュ多元環の導来同値・安定同値分類

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今年度は体上の有限次元多元環に対し、射影加群圏と加群圏のGrothendieck群ならびに、これらに関する双線形形式であるEuler形式を用いて、研究を行った。射影加群圏と加群圏のGrothendieck群の標準的な基底は、直既約射影加群と単純加群でそれぞれ与えられ、さらにEuler形式に関して双対的であることが知られている。特に射影加群圏の実Grothendieck群はEuclid空間と自然に同一視される。射影加群圏の実Grothendieck群の各元に対し、Euler形式の符号に着目することで、Kingは加群が（半）安定であるという概念を導入した。そこで各加群を半安定とするような元全体の部分集合をEuclid空間内の壁とみなすことで、実Grothendieck群の部屋構造が考えられる。一方実Grothendieck群の各元は、加群圏上に二種類の数値的ねじれ対を定める。私は今年度、部屋構造を数値的ねじれ対を用いて調べるため、上記二種類の数値的ねじれ対がともに一致するという条件で、射影加群圏の実Grothendieck群にTF同値という同値条件を新たに導入した。その結果TF同値と部屋構造は、互いに他方を復元できるということを、私は証明することができた。またKoenig-Yang対応の観点からも部屋構造を調べ、特に内点を持つTF同値類は2項準傾複体と一対一に対応することを示した。また非輪状な箙に付随する道多元環について、部屋構造の壁たちを漸化式を用いて帰納的に記述した。一般論の整備に予想以上に時間がかかり、上記の結果を今年度中にメッシュ多元環の研究へ用いるには至らなかったが、私が今年度得た道多元環の実Grothendieck群の部屋構造に関する結果は、Coxeter群を経由してメッシュ多元環の場合にも応用できると考えられる。今後の研究の中でそれを明らかにしていきたい。