臨界Ｈａｒｄｙ不等式に付随する最小化問題と楕円型偏微分方程式の研究

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交付申請書に記載した研究目的を達成するため、申請者が当該年度に実施した研究の具体的な内容や成果については次の３つである。1.Gaussian 型密度関数を持つ不変測度を重みにもつ臨界Hardy不等式に関する不等式の成立及び定数の最良性について考察し、そしてそれをKolmogorov方程式の解の存在・非存在に応用した。特にKolmogorov作用素の特別な場合であるOrnstein-Uhlenbeck作用素は数理物理や数理ファイナンス等で登場する重要な作用素として知られている。劣臨界の場合にはこれまで研究が成されてきたが、本研究では臨界の場合を考察した。2.球対称ソボレフ空間の変動指数ルベーグ空間への埋め込みのコンパクト性及び変動指数型非線形項をもつ楕円型偏微分方程式における解の存在に関して研究した。本研究では、これまで研究が成されておらず非常にデリケートな状況である変動指数が臨界指数に近づく場合に関して考察を行い、(非)コンパクト性に関して十分条件を得た。さらにそれを楕円型偏微分方程式に応用した。3.４次元におけるシャープ臨界Rellich不等式に関して、不等式の成立及び定数の最良性について考察し、達成可能性・不可能性について研究した。Rellich不等式はHardy不等式の高階への一般化として知られた有名な不等式であるが、臨界の場合は未だ分かっていない事が多い。本研究では４次元のみであるが、ヒルベルト空間の構造を用いることで、シャープな臨界Rellich不等式を考察した。また臨界Rellich不等式は非線形スケーリングに関して不変構造が破綻しているが、その破綻の仕方を見ることで、埋め込みの非コンパクト性に関して明らかにした。(1),(2)の研究結果は論文にまとめられ、現在学術雑誌に投稿中である。(3)に関しては高次元化が課題であり、研究を継続中である。