臨界型変分問題に付随する非コンパクト現象及び関連する諸問題の解析

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当該年度は、臨界Sobolev空間からLorentz-Zygmund空間への埋め込みから現れる関数不等式の最良定数に付随する最小化問題について考察し、最小化関数の存在・非存在および最小化関数の球対称性の破れに関する研究成果をあげた。特にHoriuchi-Kumlin論文(2012)及び日本数学会出版の数学の論説(2016年1月号)の堀内氏の記事でも指摘された未解決問題に関して考察し、解答を得た。より具体的には最小化問題に入っているあるパラメータに関する閾値を境にして、最小化関数の存在・非存在が変わることを示した。また最小化関数が球対称関数ではない（球対称性の破れ）ことを示すことにも成功した。これらの研究結果は学術論文としてまとめられ、掲載決定済みである。そして交付申請書に記載した研究目的である「高階及び分数階の臨界Hardy不等式の作成」に向けて、臨界Hardy不等式に対する補外理論的な新たな導出に成功した。補外理論とは作用素の有界性など実解析の分野でしばしば現れ、端的に言えば「劣臨界の形から臨界の形を導出しよう」というものであり、例えばSobolevの不等式に対しては、N.Trudingerにより既に1967年に考察されたものであるが、Hardy不等式に関してはパラメータに依存した重み関数があるため未知であった。臨界Hardy不等式は１階の微分が入った関数不等式であるが、より高階の場合にもある程度は拡張可能であることについても考察を行った。特に今回の手法を用いると、高階の場合で、内積の構造がなく、あまり研究が進んでいないL^2ベース以外でも高階の臨界Hardy不等式を得ることができる。これらの研究結果に関しては、現在論文原稿を作成中である。