臨界型変分問題に付随する非コンパクト現象及び関連する諸問題の解析

与临界变分问题和相关问题相关的非紧现象分析

基本信息

批准号：
18J01053
负责人：
佐野めぐみ
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-25 至 2021-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

当該年度は、臨界Sobolev空間からLorentz-Zygmund空間への埋め込みから現れる関数不等式の最良定数に付随する最小化問題について考察し、最小化関数の存在・非存在および最小化関数の球対称性の破れに関する研究成果をあげた。特にHoriuchi-Kumlin論文(2012)及び日本数学会出版の数学の論説(2016年1月号)の堀内氏の記事でも指摘された未解決問題に関して考察し、解答を得た。より具体的には最小化問題に入っているあるパラメータに関する閾値を境にして、最小化関数の存在・非存在が変わることを示した。また最小化関数が球対称関数ではない（球対称性の破れ）ことを示すことにも成功した。これらの研究結果は学術論文としてまとめられ、掲載決定済みである。そして交付申請書に記載した研究目的である「高階及び分数階の臨界Hardy不等式の作成」に向けて、臨界Hardy不等式に対する補外理論的な新たな導出に成功した。補外理論とは作用素の有界性など実解析の分野でしばしば現れ、端的に言えば「劣臨界の形から臨界の形を導出しよう」というものであり、例えばSobolevの不等式に対しては、N.Trudingerにより既に1967年に考察されたものであるが、Hardy不等式に関してはパラメータに依存した重み関数があるため未知であった。臨界Hardy不等式は１階の微分が入った関数不等式であるが、より高階の場合にもある程度は拡張可能であることについても考察を行った。特に今回の手法を用いると、高階の場合で、内積の構造がなく、あまり研究が進んでいないL^2ベース以外でも高階の臨界Hardy不等式を得ることができる。これらの研究結果に関しては、現在論文原稿を作成中である。

在今年，我们讨论了与功能不平等的最佳常数相关的最小化问题，这些问题从将关键的Sobolev空间嵌入到Lorentz-Zygmund空间中，并产生了有关最小化功能的存在和缺失的研究结果，以及最小化功能的球形对称性的破坏。特别是，我们讨论了未解决的问题，这些问题也在Horiuchi-Kumlin的论文（2012年）和《数学文章》中指出。（2016年1月发行）由日本数学协会（2016年1月发行）发表，并获得了答案。更具体地说，结果表明，最小化函数的存在和不存在基于特定参数的阈值而变化，这是最小化问题的一部分。它也成功地表明最小化函数不是球形对称函数（断裂的球形对称性）。这些发现已汇编为学术论文，并已发表。为了“创造高阶和分数的批判性耐力不平等”，这是赠款应用程序中描述的研究目标，我们成功地衍生出了针对批判性强大不平等现象的新的理论理论。推断理论通常出现在真实分析的领域，例如操作员的有限性，并简单地说：“让我们从下关键形式中得出批判形式。”例如，N.Trudinger在1967年已经考虑了Sobolev的不平等现象，但是Hardy的不平等现象是未知的，因为存在参数依赖性的重量函数。尽管关键的强硬不平等是包括一阶差异在内的功能性不平等，但我们还检查了即使在更高级别的情况下，它们也可以在某种程度上扩展。特别是，使用这种方法，即使在更高阶段的情况下，即使在没有内部产品的结构并且没有太多研究进行的情况下，也可以获得更高的关键耐力不平等。关于这些发现，手稿目前正在建设中。