Anwendungen und Entwicklung neuer Monte Carlo Methoden bei freien Randwertproblemen und Quasi-Variationsungleichungen in der Finanzmathematik

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In vielen Problemen der Finanzmathematik (z.B. Bewertung Amerikanischer Optionen, optimale Portfolios bei Transaktionskosten) müssen Entscheidungen über den optimalen Zeitpunkt einer Transaktion getroffen werden. Dies hat als mathematische Konsequenz, dass sich der Preis einer Amerikanischen Option als Lösung eines freien Randwertproblems ergibt und sich die Lösung des Portfolioproblems unter Transaktionskosten durch eine Quasi-Variationsungleichung charakterisieren lässt. Die Verwendung herkömmlicher numerischer Methoden (z.B. finite Differenzen, finite Elemente, ...) ist hier oft aufgrund hoher Dimension nicht effizient. Eine naive Anwendung der Monte Carlo Simulation ist nicht möglich, da zu ihrer Durchführung bereits die optimalen Zeitpunkte der obigen Transaktionen bekannt sein müssten. Deshalb sollen neueste Monte Carlo Methoden wie z.B. Monte Carlo Simulation zugehöriger Systeme reflektierter Vorwärts-Rückwärts stochastischer Differentialgleichungen betrachtet werden. Die Simulation dieser Systeme ist zum einen eine numerisch aufwändige Aufgabe (die optimiert werden muss) und zum anderen für den Fall des Portfolioproblems unter Transaktionskosten noch nicht gelöst.