Boundary regularity for elliptic and parabolic equations

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(1) L^p-L^q トレース不等式とよばれるソボレフ型の埋め込み不等式とそれに対応するエネルギー汎関数の Euler-Lagrange 方程式の関係について, 近年になって研究が始まった　0<q<p の場合を研究した. Cascante-Ortega-Vebitsky の先行研究により, この指数の範囲では　q=1の場合の結果である　Hedberg-Wolff の定理の拡張として問題を捉えることが有効であることが示唆されている.　本研究ではこれを　a) 埋め込みの成立，　b) Euler-Lagrange 方程式の解の存在, c) 埋め込み先の空間の測度の(一般化された)エネルギーの有限性　の3条件の同値性の問題と解釈した.1. q>1かつ考える空間が　R^n 内の有界領域の場合について上述3条件が互いに同値であることを示した(投稿中). 空間が全空間の場合は　c)のエネルギーを測度の Wolff ポテンシャルを使って記述すればよいことが知られていた. 本研究ではこれを測度に対応する p-Poisson 方程式の解で置き換えた. 領域境界で早く発散する(一般に有限でない)測度についての方程式を解く必要があったが, この問題ついては十分な先行結果がない(open problem とされていた)ため, 解の存在定理, 比較原理, 最大値原理, 測度の近似定理などの非線形ポテンシャル論の再検討を行った.2.　q<1 の場合について上述3条件が互いに同値であることを示した(投稿中).　上述　1. の研究において　a)とc)の同値性はこの場合も成り立つことがわかっていた. b)との同値性の証明は Euler-Lagrange 方程式の形が大きく異なるため異なる方法が必要だった.(2)準周期的構造の均質化問題について研究した.