Ｈａｒｄｙ－Ｓｏｂｏｌｅｖ不等式に関連する最小化問題

臨界Hardy-Sobolev項を複数持つNeumann型半線形楕円型方程式を考察し, その正値解の存在に関する研究を行った. 各々の非線形項が領域内の異なる点で特異点を持ち, その重み関数の増大速度も全て異なるという一般的な問題を考察した. エネルギー汎関数の臨界点の存在に関して, 臨界Hardy-Sobolev項が複数あることによる影響を考察し, 適当な条件下では解の存在を示すことができた. この結果は, 解の個数に関する研究や, 領域の対称性と解の対称性との関係に関する研究等, 解の定性的な研究に繋がると考える. この研究はC.-H. Hsia氏, G. Hwang氏との共同研究である.Sobolev空間の臨界埋め込みに関連して, 全空間で定義された球対称Sobolev空間から変動指数Lebesgue空間への埋め込みのコンパクト性についての研究も行った. この研究は佐野めぐみ氏との共同研究である. Lebesgue空間の可積分指数を変数にすることにより, より厳密なコンパクト・非コンパクトの十分条件を導出することができ, さらにこのコンパクト性の結果を準線形楕円型方程式に応用した. 有界領域上では非線形の性質を持ち, 無限遠方では線形の挙動をする方程式で, この2つの性質を同時に持つことで解析上の困難が生じるが, その部分を解決することにより, 正値解の存在を示すことができた. これらの結果は, 全空間で定義されたSobolev空間でのみ起こる有界列の消失現象による非コンパクト性をより詳しく厳密に解析する研究の一助となると考える.

臨界Hardy-Sobolev項を複数持つNeumann型半線形楕円型方程式を考察し, その正値解の存在に関する研究を行った. 各々の非線形項が領域内の異なる点で特異点を持ち, その重み関数の増大速度も全て異なるという一般的な問題を考察した. エネルギー汎関数の臨界点の存在に関して, 臨界Hardy-Sobolev項が複数あることによる影響を考察し, 適当な条件下では解の存在を示すことができた. この結果は, 解の個数に関する研究や, 領域の対称性と解の対称性との関係に関する研究等, 解の定性的な研究に繋がると考える. この研究はC.-H. Hsia氏, G. Hwang氏との共同研究である.Sobolev空間の臨界埋め込みに関連して, 全空間で定義された球対称Sobolev空間から変動指数Lebesgue空間への埋め込みのコンパクト性についての研究も行った. この研究は佐野めぐみ氏との共同研究である. Lebesgue空間の可積分指数を変数にすることにより, より厳密なコンパクト・非コンパクトの十分条件を導出することができ, さらにこのコンパクト性の結果を準線形楕円型方程式に応用した. 有界領域上では非線形の性質を持ち, 無限遠方では線形の挙動をする方程式で, この2つの性質を同時に持つことで解析上の困難が生じるが, その部分を解決することにより, 正値解の存在を示すことができた. これらの結果は, 全空間で定義されたSobolev空間でのみ起こる有界列の消失現象による非コンパクト性をより詳しく厳密に解析する研究の一助となると考える.