過剰決定系楕円型方程式の解の存在と領域の対称性に関する研究

超定椭圆方程解的存在性及域对称性研究

• 批准号: 10740080
• 负责人: 長澤 壯之
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1998
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1998 至 1999
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-10740080/
• 关键词: 過剰決定系; 楕円型方程式; レーリー予想; 対称性; 曲率

19世紀にレーリーは、ノイマン境界条件下でのラプラシアンの固有関数で境界値が一定なものを許容する有界な単連結平面領域は、円板に限るであろうと予測した。これは、後に、「レーリー予想」と呼ばれ、過剰決定系楕円型方程式の解の存在と領域の対称性の問題の出発点となった。しかし、レーリー予測は、未だ解決されていない。本研究では、レーリー予想を含む過剰決定系楕円型方程式の解の存在と領域の対称性の問題を、新しい方法で取り組んだ。すなわち、領域の境界を多様体と見なし、領域の対称性を、多様体の曲率の対称性の問題として考えた。昨年度は、解の高階の法線微分係数を曲線とその導関数を用いて表現する公式を導き出した。これには、領域の位相的条件(単連結性・可能性 等)や幾何学的条件(凸性・星形性 等)を一切必要としない。また、この公式と与えられた楕円型方程式の過剰決定性から、領域が対称性を持つ為の必要十分条件を見いだした。この結果は、日本数学会の1999年会において報告した。今年度は、昨年度中に得られた公式の証明を改良し、公式自体も見やすくした。その結果、領域の境界の平均曲率が定数になる為の必要十分条件を見出すことができた。また、解の法線微分係数がある程度の階数まで定数であれば、すべての階数の法線微分係数が定数になってしまうという、一種の飽和現象を発見した。何階までの法線微分係数が定数であれば飽和現象を起すかは、初めに与えられる過剰決定条件に依存する。これらの結果は、京都大学数理解析研究所における研究集会「変分問題とその周辺」で講演し、その内容は、同研究所の講究録で見る事ができる。詳細な証明を付けた論文は現在投稿中である。

In the 19th century, under the condition of boundary, the boundary value of the solid state is allowed to be bounded, and the boundary value of the solid state is limited. The existence of solutions to equations of the type and the emergence of problems of symmetry in the field are determined by the following: It's not a problem. It's a problem. In this paper, we propose a new method for determining the existence and symmetry of solutions to the equations. The problem of symmetry of domain, symmetry of curvature of domain and symmetry of domain The equation for calculating the normal differential coefficients of the higher order solutions of yesterday's equations is derived from the equation for calculating the derivative coefficients of the higher order solutions of yesterday's equations. All necessary conditions for the phase of the domain (connectivity, possibility, etc.) and geometric conditions (convexity, starlikeness, etc.) The necessary conditions for determining the equivalence of the equation and the domain are set forth below. The results were reported at the 1999 annual meeting of the Japan Mathematical Society. This year, the middle of the year, the formula was proved to be improved, and the formula itself was found to be improved. The result is that the average curvature of the boundary of the field is constant and the necessary ten conditions are shown. The order of the normal differential coefficient of the solution is fixed, and the order of the normal differential coefficient of the solution is fixed. A saturation phenomenon is discovered. What order of normal differential coefficient is determined by the saturation phenomenon? The results of the seminar were presented at the Institute of Mathematical Analysis, Kyoto University. Detailed proof of the paper is now submitted.

项目成果

Takeyuki Nagasawa: "Construction of weak solutions of the Navier-Stokes equations on Riemannian manifold by minimizing variational functionals"Adv.in Math.Sci.Appl.. 9・1. 51-71 (1999)

长泽武之：“通过最小化变分泛函构建黎曼流形上的纳维-斯托克斯方程的弱解”Adv.in Math.Sci.Appl.. 9・1 (1999)。

Takeyuki Nagasawa: "Numerical analysis for hyperbolic Ginzburg Landau system"Nonlinear Anal.. (印刷中).

Takeyuki Nagasawa：“双曲 Ginzburg Landau 系统的数值分析”非线性分析..（出版中）。

Takeyuki Nagasawa: "Initial-final value problems for ordinary differential equations and applications to equivariant harmonic maps" J.Math.Soc.Japan. 50・3. 545-555 (1998)

Takeyuki Nagasawa：“常微分方程的初终值问题及其在等变调和映射中的应用”J.Math.Soc.Japan 50・3（1998）。

Takeyuki Nagasawa: "The Pompeiu and related problems and boundary behavior"京都大学数理解析研究所講究録. 28-35 (1999)

长泽武之：“庞贝及其相关问题和边界行为”京都大学数学科学研究所 Kokyuroku 28-35（1999）。

Takeyuki Nagasawa: "Construction of weak solutions of the Navier-Stokes equations on Riemannian manifold by minimizing variational functionals" Adv.in Math.Sci.Appl.9(印刷中). (1999)

Takeyuki Nagasawa：“通过最小化变分泛函构建黎曼流形上的纳维-斯托克斯方程的弱解”Adv.in Math.Sci.Appl.9（出版中）。