「計算」の視点から見る数学的難問

从“计算”的角度看数学难题

• 批准号: 21K19758
• 负责人: 天野 一幸
• 金额: $ 3.24万
• 依托单位: Gunma University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-07-09 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-21K19758/
• 关键词: 計算量理論; 整数複雑さ; 論理関数; 下界; 計算機援用; 計算複雑さ; P vs. NP問題; 離散構造; コラッツ予想; 充足可能性問題; P≠NP予想

本研究は，数学分野において長く未解決となっている様々な難問を，「計算」の視点から捉え直すことで，その困難さを解明し，あるいは，解決への糸口を得ようとするものである．これへ向けて，今年度は，特に以下の２点について成果を得ることができた．１．与えられた自然数を，数値の1と，加算，乗算，および，括弧を任意に用いて表現するときの，数値1の使用回数の最小値を，その数の整数複雑さと呼ぶ．1950年代に提唱されたこの問題は，そのシンプルさにも関わらず，良い上界，あるいは，下界を求めることは長年の未解決問題となっている．本研究では，これまで知られる最良の上界と下界が，それぞれ，2進数表現と3進数表現を元にしていることに着目し，2進と3進を任意の順番で使用できるとする，混合2-3進数表現を提案し，この表現を用いた整数複雑さについて解析を行った．その結果，平均的複雑さに対する，これまで知られる最良の上界の改良や，整数複雑さの分布についての新たな知見を得ることに成功した．この結果は，国際会議ISAAC2022において発表を行った．２．論理関数の重要な表現手法の一つである，多項式しきい値表現の複雑さに関する解析を行った．特に，ODD-MAXBIT関数と呼ばれる論理関数を，この形式で表現したときの，係数の絶対値の和に対する下界を求める問題に対して，既知の最良の上界とほぼマッチする下界を証明することに成功した．これは，20年来の未解決問題を解決したものである．証明には，ランダム割り当てと，論理関数の自己帰着性を巧妙に組み合わせた手法を用いており，より広く決定リストの表現長の解明への発展も期待できる．この結果は，電子情報通信学会論文誌に掲載された．これらに加えて，最疎充填問題等いくつかの離散数理的問題に対して興味深い進展が得られるなど，本研究の目的の達成に向けて重要な進展を得ることができた．

In this study, the field of mathematics is long and unresolved, and it is difficult to ask, and the perspective of "calculation" is captured. It's straight, it's difficult, it's clear, it's clear, it's solved, it's solved, it's solved. This year, the results of this year's special 2 points are as follows. 1. And natural numbers, number value, addition, multiplication, parentheses, arbitrary use, etc. Express the するときの, the number value 1の use the minimum value を of the number of times, and the そのnumber のinteger complex 雑さとcallぶ. In the 1950s, the problem of singing the song "されたこの性は", "そのシンプルさにも关わらず", goodいThe upper bound, あるいは, the lower bound をquest, めることは, long-term unresolved problems, となっている. The purpose of this study is to know the best upper bound and lower bound of the best, and to express 2-dimensional numbers and 3-dimensional numbers. Use できるとする to express と3 into arbitrarily, and use できるとする to express を proposal し by mixing 2-3 arithmetical numbers, and use いた integer complex to express この to analyze を行った．そのresult, average complex 雑さに対する, これまで知られるthe best upper bound のchange Good や, integer complex 雑さのdistributionについての新たなknowledgeをgetることにsuccessした． The results of the international conference ISAAC2022 are the same as the results. 2. The important expression technique of theoretical close number is の一つである, and the expression method of polynomial しきい夤 is complex 雑さに关するanalytic を行った. Special に, ODD-MAXBIT off number とcall ばれる theory off number を, このform でexpression したときの, coefficient のJu対夤のsumに対する lower bound を seek める problem に対して, the best known upper bound とほぼマッチするlower bound をprove することにsuccessした.これは, のである． The proof is the same, the reason is the same as the original one, and the logical combination is the clever combination of the numbers. The technique is simple and easy, and the performance is long and clear, and the expectations are high.このRESULTSは, Journal of the Society for Electronic Information and Communications Technology published in された. The problem of discrete mathematics such as the maximum filling problem and so on is very interesting and interesting. The purpose of this study is to achieve the goal of this study and to make important progress.

项目成果

On the Size of Depth-Two Threshold Circuits for the Inner Product Mod 2 Function

• DOI: 10.1007/978-3-030-40608-0_16
• 发表时间: 2020-01-07
• 期刊: Language and Automata Theory and Applications
• 作者: Amano K

パズル「しろなべ」の計算複雑性

“Shironabe”难题的计算复杂性

• 发表时间: 2023
• 作者: 篠原 広佑;荒木 徹也;天野 一幸
• 通讯作者: 天野 一幸

Lower Bounds on the PTF Weight of ODD-MAXBIT Function

ODD-MAXBIT 函数的 PTF 权重下界

• DOI: 10.1587/transfun.2022dml0003
• 发表时间: 2023
• 期刊: IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences
• 作者: AMANO Kazuyuki

Knights Exchange Puzzleの一般化に関する研究

骑士交换谜题的泛化研究

• 发表时间: 2023
• 作者: Masashi Tsuchida;Fukuhito Ooshita;and Michiko Inoue;田島 大也，天野 一幸
• 通讯作者: 田島 大也，天野 一幸

1次元セルオートマトンのルール30の解析

一维元胞自动机规则30分析

• 发表时间: 2023
• 作者: 近藤和希;関川浩;西江一志，西田直樹，酒井正彦;内田 明良，天野 一幸
• 通讯作者: 内田 明良，天野 一幸