W3代数を生成系とする頂点代数とその対称性の研究

W3代数と呼ばれる頂点代数はフュージョン規則に位数3の対称性を持つことが知られている。本研究課題では生成系としてW3(4/5)を持ち，いくつかの条件を満たすものを構成し，その自己同型群を解明することを目的として設定した。当初の計画では，頂点代数の構成とその構造の解析，およびその自己同型群の解析を同時平行的に行う予定であったが，本年度は前者の生成系に関して研究を行った。位数3の元を生成系とする群の分類問題については，アッシュバッハー，ホール，シュテルマッハーらの群論における先行結果が知られていた。彼らの分類結果にはコンウェイ群および散在型鈴木群が現れ，推察するに，期待される分類結果から逆算して，群の生成系に対する仮定条件を定めたものと考えられた。当初はその仮定条件についてはあまり疑問を持たずに，安直に頂点代数の生成系に関する条件と読み替えて研究を進めるつもりであったが，2つのW3代数で生成される頂点代数の構造に関する条件として読み替える場合，多くの分岐条件があり，安直な読み替えでは上手く行かないことが判明した。そこで2つの位数3の元で生成される群構造の由来について，計算機を援用して指標表の計算を行い，仮定条件を満たす様々な群およびその共役類について調べ，また，頂点代数側の例についても同様に調べた。その結果，リーチ格子に付随する格子頂点代数の内部では，W3(4/5)が生成する位数3の自己同型はアッシュバッハーらが設定した条件を満たさないことが判明した。一方で，コセット構成法と，ミラー拡大から構成される頂点代数には，アッシュバッハーらが設定した条件を満たすW3(4/5)からなる生成系が含まれていると期待されるが，その構成法は一部，具体的でない部分があり，直接計算が困難な箇所がある。具体的に計算が実行可能な格子頂点代数での知見が利用できると考えていたが，新たな手法が必要となることが判明した。

W3代数と呼ばれる頂点代数はフュージョン規則に位数3の対称性を持つことが知られている。本研究課題では生成系としてW3(4/5)を持ち，いくつかの条件を満たすものを構成し，その自己同型群を解明することを目的として設定した。当初の計画では，頂点代数の構成とその構造の解析，およびその自己同型群の解析を同時平行的に行う予定であったが，本年度は前者の生成系に関して研究を行った。位数3の元を生成系とする群の分類問題については，アッシュバッハー，ホール，シュテルマッハーらの群論における先行結果が知られていた。彼らの分類結果にはコンウェイ群および散在型鈴木群が現れ，推察するに，期待される分類結果から逆算して，群の生成系に対する仮定条件を定めたものと考えられた。当初はその仮定条件についてはあまり疑問を持たずに，安直に頂点代数の生成系に関する条件と読み替えて研究を進めるつもりであったが，2つのW3代数で生成される頂点代数の構造に関する条件として読み替える場合，多くの分岐条件があり，安直な読み替えでは上手く行かないことが判明した。そこで2つの位数3の元で生成される群構造の由来について，計算機を援用して指標表の計算を行い，仮定条件を満たす様々な群およびその共役類について調べ，また，頂点代数側の例についても同様に調べた。その結果，リーチ格子に付随する格子頂点代数の内部では，W3(4/5)が生成する位数3の自己同型はアッシュバッハーらが設定した条件を満たさないことが判明した。一方で，コセット構成法と，ミラー拡大から構成される頂点代数には，アッシュバッハーらが設定した条件を満たすW3(4/5)からなる生成系が含まれていると期待されるが，その構成法は一部，具体的でない部分があり，直接計算が困難な箇所がある。具体的に計算が実行可能な格子頂点代数での知見が利用できると考えていたが，新たな手法が必要となることが判明した。