頂点代数のコセットの構造の研究

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頂点作用素代数は、２次元の共形的な場の量子論（共形場理論）の対称性を記述する代数系である。場の理論や表現論、モジュラー形式の理論、組み合わせ論、テンソル圏の理論など様々な分野と関係する重要な代数系である。その中でも、平滑ないしC_2余有限と呼ばれる頂点作用素代数のクラスは、指標のモジュラー不変性を持つことが知られており、頂点作用素代数の最も重要なクラスの一つである。平滑な頂点作用素代数を構成する手法の中に、コセット構成法というものがある。コセットは一般に平滑になると考えられているが、証明はされておらず、分野の大問題の一つである。頂点作用素代数の一般化である頂点代数についても、平滑性やコセットの概念が自然に定義される。本研究では、コセットの平滑性が頂点代数の範囲ではどう見えるか確かめるために、平滑な頂点作用素代数において、平滑だが頂点作用素代数ではない部分頂点代数を考え、そのコセットの構造を調べている。今年度は昨年度から引き続き、レベル１のA1型の頂点代数のコセットについて、その構造を調べた。昨年度の研究で有限生成でないことが分かったので、生成元を決定するという問題に取り組み、自然な極小生成系を与えた。一般に頂点作用素代数は無限次元のベクトル空間で、その構造の解明には、良い生成系を与えることが不可欠である。そこで、この生成系は今後コセットの構造を解明する上で重要な役割を果たすと考えられる。また、他のコセットについても一般化しやすい形だと考えられるので、この手法は一般化に役立つと考えられる。また、平滑性に代わるコセットの有限性について一定の理解が得られた。これは今後、コセットの平滑性がどの程度成り立つかという問題に一つの視点を与えると考えられる。