テンソル圏を用いた頂点作用素代数の構成とその対称性の研究

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前年度に引き続き，レベル28のA1型アフィン頂点作用素代数の例外型拡大を用いた中心電荷24の正則頂点作用素代数の構成の構成，およびその自己同型群について研究を行った。構成法については，コセット構成法およびそのミラー拡大を経由して，テンソル圏の手法による元々の構成法と，具体的な格子に付随する頂点作用素代数から出発し，不動点部分代数をとった上でその単純カレント拡大をとる構成法の二通りの構成法が得られていたが，今年度は前者についてより深く考察を行った。テンソル圏における可換代数的対象の構成法として，標準代数をとる手法が知られている。A1型の構成法で得られる，中心電荷24の正則な頂点作用素代数はすべてフィボナッチ拡大となっており，圏論的には同じ標準代数に対応するものであった。これまで，この構成法により，同型を除いて計8個の正則な中心電荷24の頂点作用素代数が得られていたが，すべて同じ標準代数に対応することから，拡大をとる前にテンソル積を作り，それらをフィボナッチ拡大でつなげていくことで，中心電荷が24の正の倍数の場合に，未知と思われる非自明な正則な頂点作用素代数の無限系列を構成できることが分かった。特に中心電荷が48の場合に得られる例については，ムーンシャイン頂点作用素代数の2つのテンソル積とはならないことが指標の計算などから予想できるものの，その具体的な構造はよく分かっておらず，今後のさらなる研究が必要となった。構成した例のいくつにおいては，次数1の部分空間が自明になっており，有限群を前自己同型群に持つことが予想されるが，こちらもまだよく分かっておらず，今後のさらなる研究が必要である。