幾何学に関連して現れる頂点代数の研究

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昨年度の研究によって,頂点作用素代数の持つ対称性が高い場合には,そのグライス代数における随伴作用のトレースが決定できることがわかった。それは極めて重要な観察であると思われたので,当初の予定を変更し,今年度は計算機を利用して実際にトレースを計算し,具体的な公式を導いた。その結果,計算の副産物として,対称性の高い頂点作用素代数の中心電荷cとグライス代数の次元dの間には奇妙な関係式が成り立たなければならないことがわかった。その関係式を具体的に調べてみると,ムーンシャイン加群の場合の(c,d)=(24,196884)が実際に極めて例外的な値であることがわかった。この場合には,ある種のW代数の埋め込みに対する自己同型のタイプがトレース公式から決定される。これをヒントにして,大学院学生の島倉裕樹氏はモンスターの4A元に対応するW代数の埋め込みに関する分解を具体的に決定した。また,c=24の場合には,トレース公式は重み12未満の尖点形式が0のみであることからも従うことがわかった。対称性の高さとモジュラー不変性の間に密接な関係があることが窺われる。一方,超対称性に関しては,超共形代数のある種の基礎付けを研究し,単純な超共形代数において,超電荷とカレントのなす部分代数の構造に新しい意味付けを与えた。この方向では,大学院学生の山本剛氏が,単純超共形代数の特別な場合の純代数的な分類を行った。これらの成果を統合して次のステップに結び付けていく研究を行っていかなくてはならない。