マルコフ過程の経路及びその加法汎関数の大域的性質とその安定性

過渡的で，既約な対称Markov過程で,強Feller性をもつものを考える．このMarkov過程に対応するDirichlet形式を，加藤クラスに属する滑らかの測度により変換した半正定値形式として定義されるシュレーディンガー形式を考えた．このシュレーディンガー形式が正定値となる条件，および対応する拡張されたDirichlet空間の特徴づけを，もとのMarkov過程の臨界性の条件を通して得ることが出来た．その副産物として，指数αをもつ対称安定過程の時間変更過程として，特異な関数によるh-変換過程に対応するDirichlet形式が臨界的となるための条件を得ることが出来た．さらには，シュレーディンガー形式に対するHardy 不等式が成り立つ際の係数の最適性も確認することが出来た．これまでは，偏微分方程式や，その基本解の詳しい性質を確認することにより導出されていたものを，Dirichlet形式の変換論の一般論として確認することが出来た．なお，この結果は，竹田氏との共同研究として，学術雑誌「Transaction of the American Mathematical Society」376巻(2022)において発表した．一方，2階の楕円型偏微分作用素に,ドリフト項と呼ばれる１階の偏微分作用素や，ポテンシャル項と呼ばれる掛け算作用素を付加したときの均質化問題も考えた.特に,展開法(Unfolding method)と呼ばれる手法を用いることで,係数に必ずしも周期性を仮定することなしに均質化問題を解くことが出来ることが最近判明した. 一部，タイで開催された(zoomによる)研究会で発表を行った．現在，論文としてまとめているところである．

過渡的で，既約な対称Markov過程で,強Feller性をもつものを考える．このMarkov過程に対応するDirichlet形式を，加藤クラスに属する滑らかの測度により変換した半正定値形式として定義されるシュレーディンガー形式を考えた．このシュレーディンガー形式が正定値となる条件，および対応する拡張されたDirichlet空間の特徴づけを，もとのMarkov過程の臨界性の条件を通して得ることが出来た．その副産物として，指数αをもつ対称安定過程の時間変更過程として，特異な関数によるh-変換過程に対応するDirichlet形式が臨界的となるための条件を得ることが出来た．さらには，シュレーディンガー形式に対するHardy 不等式が成り立つ際の係数の最適性も確認することが出来た．これまでは，偏微分方程式や，その基本解の詳しい性質を確認することにより導出されていたものを，Dirichlet形式の変換論の一般論として確認することが出来た．なお，この結果は，竹田氏との共同研究として，学術雑誌「Transaction of the American Mathematical Society」376巻(2022)において発表した．一方，2階の楕円型偏微分作用素に,ドリフト項と呼ばれる１階の偏微分作用素や，ポテンシャル項と呼ばれる掛け算作用素を付加したときの均質化問題も考えた.特に,展開法(Unfolding method)と呼ばれる手法を用いることで,係数に必ずしも周期性を仮定することなしに均質化問題を解くことが出来ることが最近判明した. 一部，タイで開催された(zoomによる)研究会で発表を行った．現在，論文としてまとめているところである．