分散型方程式の非線型項と散乱作用素の多角的考察

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令和４年度は主に、空間２次元の非線型クライン・ゴルドン方程式における散乱の逆問題について研究した。ここで、「方程式の非線型項N(u)は（uに関して）滑らかであり、幾つかの設定がなされているが、詳細な情報・形状は未知である」と仮定している。（目標）散乱作用素の情報が既知であるとしたときに、未知なるNを同定すること。（背景）N(u)がかなり具体的に与えられていて、未知な情報が極僅かである場合は、幾つかの結果が知られている。その場合、「小振幅極限」が有効である。「小振幅極限」はいわば散乱作用素の１次近似に相当するもので、様々な散乱の逆問題に利用されている。一方、今回の設定では、未知な情報が非常に多く、「小振幅極限」だけではNの同定には程遠い状況となる。従って、新たな手法を確立する必要がる。（主結果）今年度は、散乱作用素のｎ次近似に相当する評価式を証明し、それを利用することで、「Nの（原点に於ける）ｎ次微分係数を一意に再構成する公式」を確立した。なお、この公式は、ｎ次未満の微分係数が未知であっても適用可能となる。更に、系として、散乱作用素の（原点に於ける）ｎ次ガトー微分係数を求めることが出来た。（応用例）「Nが多項式であることが分かっている場合」であれば、当該公式を用いることでNそのものを一意に再構成することが証明される。これらの結果は学術論文として纏められ、査読付き国際学術雑誌へ投稿する予定である。