分解定理に基づく流体および電磁気学に現れる境界値問題に対する新たな解析手法の展開

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小薗英雄，清水扇丈，M.Hieber，A.Seyfert等との共同研究により得られた，3次元Euclid空間における滑らかな境界をもつ外部領域上のLr-調和ベクトル場のなす空間の構造に関する幾つかの結果を公表した．具体的には，コンパクトではない外部領域上であっても，接線的な調和ベクトル場のなす空間Xrと法線的な調和ベクトル場のなす空間Vrは共に有限次元空間となることを示し，更にそれぞれの空間の次元と領域の位相的不変量との関係を明示的に与え，その結果を論文として公表した．公表論文においては，与えられた外部領域の境界連結成分がL個で，各境界連結成分に付随するdisjointなカット面をそれぞれN_i（i=1,2,...,L）個とると領域を単連結にすることが出来るとすれば，空間Xrの次元については，全ての1<r<∞に対して，N_1+...+N_Lで与えられることを示した．一方，空間Vrの次元については，1<r≦3/2なるrに対しては L-1，3/2<rなるrに対しては L で与えられることを示した．すなわち，外部領域上のLr-調和ベクトル場のなす空間Vrは，r=3/2を閾値としてその構造が変化するが明らかになった．このような性質は，有界領域上の調和ベクトル場のなす空間はもたないことが知られている為，外部領域上の調和ベクトル場のなす空間のもつ著しい特徴の一つと考えられる．尚，空間Xrの次元を領域の位相的不変量で決定する際に用いた手法も，既存のFoias-Temam等の方法を若干変更したものになっている．