ランダム媒質中の確率過程に関する漸近的性質

正方格子上のランダム・ウォークの道の多重点の個数に関する極限定理は、そもそもランダム媒質中のランダム・ウォークの道の大域的性質、特に再帰性の判定条件を与えるために研究されてきた。そこで必要となるのは大偏差原理の成立を保証することなのであるが、その解決にはまだまだ先が長いと言わざるを得ない。しかし、その前段階である概不変原理が訪問点の個数に関して、次元が4以上のときに証明することができた。訪問点の個数の漸近挙動が次元によって異なることはこれまでの研究でわかっていることである。この概不変原理が成立すると、中心極限定理や重複対数の法則がその系として得られるだけではなく、Donskerの不変原理やStrassenの不変原理など独立同分布確率変数の部分和で得られている極限定理が大偏差原理を除いてすべて得られることになる。また、その主張は適当に正規化された訪問点の個数が確率1でブラウン運動で近似できるというものであるから、ブラウン運動で成立していることの大半が成立することもわかる。一方、大偏差原理については訪問点の個数の積率母関数を得ることが必要なのであるが、その原点での漸近挙動が得られた。そしてそれは1次元ブラウン運動の近傍の体積(Wiener sausage)の場合の挙動と一致する。Wiener sausageはランダム・ウォークの道の訪問点の個数のcontinuous analogであり、原点での挙動が一致することはそれなりに説得力のある事実である。しかし、無限大での挙動が異なると考えられる状況証拠を得ることができた。

正方格子上のランダム・ウォークの道の多重点の個数に関する極限定理は、そもそもランダム媒質中のランダム・ウォークの道の大域的性質、特に再帰性の判定条件を与えるために研究されてきた。そこで必要となるのは大偏差原理の成立を保証することなのであるが、その解決にはまだまだ先が長いと言わざるを得ない。しかし、その前段階である概不変原理が訪問点の個数に関して、次元が4以上のときに証明することができた。訪問点の個数の漸近挙動が次元によって異なることはこれまでの研究でわかっていることである。この概不変原理が成立すると、中心極限定理や重複対数の法則がその系として得られるだけではなく、Donskerの不変原理やStrassenの不変原理など独立同分布確率変数の部分和で得られている極限定理が大偏差原理を除いてすべて得られることになる。また、その主張は適当に正規化された訪問点の個数が確率1でブラウン運動で近似できるというものであるから、ブラウン運動で成立していることの大半が成立することもわかる。一方、大偏差原理については訪問点の個数の積率母関数を得ることが必要なのであるが、その原点での漸近挙動が得られた。そしてそれは1次元ブラウン運動の近傍の体積(Wiener sausage)の場合の挙動と一致する。Wiener sausageはランダム・ウォークの道の訪問点の個数のcontinuous analogであり、原点での挙動が一致することはそれなりに説得力のある事実である。しかし、無限大での挙動が異なると考えられる状況証拠を得ることができた。