非圧縮性粘性流体方程式の自由境界値問題

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本年度は次の２つの研究成果が得られた．１．Navier-Stokes方程式に対する層領域型の自由境界値問題を，表面張力・重力が働かない場合について考察し，時間Lp空間Lq枠において小さな初期値に対する時間大域的適切性を証明した．さらに，解の指数減衰を示した．証明のポイントは，自由境界値問題をLagrange変換を用いて固定領域上の非線形問題に帰着させ，その線形化問題に対する指数安定な最大Lp-Lq正則性定理を示すことである．表面張力や重力が働く場合には，レゾルベント問題を考察したときに原点が連続スペクトルになるが，それらが働かない場合には原点がレゾルベント集合に属することがAbels (2006)により示されている．これにより（表面張力・重力が働かない場合は）指数安定な解析半群を構成することができ，昨年度得られた層領域における一般化Stokes問題に対する最大Lp-Lq正則性定理と組み合わせることで，線形化問題に対する指数安定な最大Lp-Lq正則性定理を証明した．２．一般化ニュートン流体と呼ばれる非ニュートン流体のクラスの非圧縮性二相流を考察し，任意の時間区間(0,T)を与えたとき，それに応じて小さな初期値を選ぶことで，(0,T)上の強解の一意存在定理を示した．本研究で考察した一般化ニュートン流体とは，接線応力τがτ=μ(|D(v)|^2)D(v)（μは[0,∞)上の実数値関数，D(v)は変形速度テンソル）で与えられるものであり，特にμを定数関数とすればニュートン流体に対する接線応力と一致する．本研究では，C^3かつμ(0)>0なるμに対して上記の結果を得た．証明のポイントは，方程式をニュートン流体の場合からの摂動と見なすことであり，Pruss-Simonett (2010, 2011)で得られている最大Lp正則性定理を用いることで摂動項を上手く処理することができた．