Proof theory, higher order theories of reverse mathematics, and semi-intuitionism

证明论、逆向数学的高阶理论和半直觉主义

基本信息

  • 批准号:
    2595035
  • 负责人:
  • 金额:
    --
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    英国
  • 项目类别:
    Studentship
  • 财政年份:
    2021
  • 资助国家:
    英国
  • 起止时间:
    2021 至 无数据
  • 项目状态:
    未结题

项目摘要

The project resides in the EPSRC research area of logic and combinatorics. Reverse mathematics is a research area concerned with the logical strength of mathematical theorems.Traditionally, a scale for measuring strength is furnished by certain standard systems couched in the language of second order arithmetic.Roughly, a mathematical theorem M has strength T (with T be a one of the theories on the standard scale) if T proves M whereas none of the weaker theories proves M. The standard scale of theories, however, is based on the rather impoverished language of second order arithmetic whose ontology is restricted to natural numbers and sets of naturalnumbers, and therefore is not expressive enough to be able to talk about higher order sets. In this project the aim is to develop reverse mathematics using a scale of higher order theories.A novel aspect is also to use theories that use different logics for mathematical objects, namely classical logic for numbers but intuitionistic logic for higher type mathematical objects.The switch to intuitionistic logic for higher type objects has the advantage that the logical strength of the theories can be tamed while at the same time allowing for the expressiveness of higher type languages. A further exciting aspect of intuitionistic logic is that it introduces a new dimension of axiomatic freedom in mathematics in that new principles, which are impossible with classical logic, can be employed in proofs of mathematical theorems.The project requires the study of the proof-theoretic strength of higher-type systems, using techniques from ordinal analysis and functional interpretation. Another important part of the project will be the development of mathematics in semi-intuitionistic theories which has never been carried out in a systematic way.
该项目属于EPSRC的逻辑和组合学研究领域。逆向数学是一个研究数学定理的逻辑强度的领域。传统上,衡量强度的尺度是由某些用二阶算术语言表达的标准系统提供的。粗略地说,一个数学定理M具有强度T(T是标准尺度上的理论之一),如果T证明了M,而没有一个较弱的理论证明了M。然而,理论的标准尺度是基于二阶算术的相当贫乏的语言,其本体论仅限于自然数和自然数的集合,因此没有足够的表达能力来谈论高阶集合。 在这个项目中,目标是使用高阶理论的规模来开发逆向数学。一个新颖的方面也是使用使用不同逻辑的数学对象的理论,即经典逻辑用于数字,而直觉逻辑用于更高类型的数学对象。切换到直觉逻辑用于更高类型的对象具有理论的逻辑强度可以被驯服的优点,同时允许高级语言的表达能力。直觉主义逻辑的另一个令人兴奋的方面是,它引入了数学中公理自由的新维度,即经典逻辑不可能实现的新原理可以用于数学定理的证明。该项目要求研究更高类型系统的证明理论强度,使用序数分析和功能解释的技术。该项目的另一个重要组成部分将是数学的发展,在半直觉理论,从来没有进行了系统的方式。

项目成果

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