Représentations des algèbres de dimension finie

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On se propose d'étudier la théorie des représentations d'une algèbre de dimension finie sur un corps. Ceci se fait par le biais de la catégorie des modules de type fini de l'algèbre. Le programme est constitué de deux axes. Le premier est celui de la théorie de l'inclinaison et de ses applications. Les catégories dérivées sont étroitement reliées à la théorie de l'inclinaison. Elles permettent de formuler différemment des problèmes qui sont parfois difficilement résolubles dans le langage usuel, et en particulier elles permettent d'étudier la catégorie des modules sous un autre angle. On s'intéresse également à une nouvelle classe d'algèbres, les algèbres cluster-inclinées. Celles-ci sont les algèbres d'endomorphismes des objets inclinants des catégories de clusters. La catégorie de clusters permet de donner une interprétation différente aux algèbres de clusters et à faciliter la compréhension des bases canoniques d'une algèbre enveloppante quantisée, et à décrire les matrices totalement positives d'un groupe algébrique réductif. Le deuxième axe est constitué de l'étude de la cohomologie de Hochschild et de la connexité simple d'une algèbre.  L'intérêt des algèbres simplement connexes réside principalement dans le fait que les techniques de revêtement permettent souvent de ramener l'étude des modules indécomposables sur une algèbre à celle des modules indécomposables sur une algèbre simplement connexe. La connexité simple est elle-même reliée à l'annulation du premier groupe de cohomologie de Hochschild.