Développement et analyse de méthodes d'éléments finis mixtes duales appliquées à la mécanique des milieux continus

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L'objectif du programme de recherche proposé est de développer et d'analyser des méthodes d'éléments finis mixtes duales appliquées à la mécanique des milieux continus. Ces méthodes permettent d'obtenir simultanément des approximations de l'inconnue et son gradient avec le même ordre de précision. De plus, ces méthodes possèdent une propriété importante qui est la conservation locale de certaines quantités physiques. Le premier volet de ce projet concerne l'étude du transfert thermique par convection naturelle en régime transitoire. Le modèle mathématique consiste en un couplage des équations de Navier-Stokes et de l'équation de la chaleur et ce dans le cadre de l'approximation de Boussinesq. Ce modèle est considéré dans plusieurs applications comme, par exemple, le stockage de l'énergie dans les accumulateurs thermiques. Des formulations mixtes duales de ce modèle, utilisant le tenseur des taux de déformation, seront proposées et analysées. Le deuxième volet sera consacré à l'étude d'une famille générale d'écoulements de fluides quasi-newtoniens. Cette famille englobe les cas de deux lois de viscosité populaires en rhéologie, à savoir la loi puissance et la loi de Carreau. Ces modèles interviennent dans plusieurs applications comme, par exemple, les polymères fondus. Nous analyserons ce genre d'écoulements par des méthodes d'éléments finis mixtes duales et nous montrerons des estimations d'erreurs aussi bien a priori qu'a posteriori. Finalement, le dernier volet de ce projet de recherche concerne la construction d'autres éléments finis mixtes, avec le minimum de degrés de liberté, pour les équations de l'élasticité linéaire tout en utilisant le tenseur de déformation. Une difficulté majeure qui se présente dans de telles constructions est la symétrie du tenseur de déformation. Afin de contourner cette difficulté, nous continuerons nos investigations dans deux directions : la relaxation de la symétrie par un multiplicateur de Lagrange et la construction de méthodes d'éléments finis mixtes duales non conformes. Signalons que ce volet a des incidences directes sur les deux volets précédents.