Lie algebroids and moduli spaces

李代数体和模空间

基本信息

  • 批准号:
    RGPIN-2022-05254
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 1.53万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    加拿大
  • 项目类别:
    Discovery Grants Program - Individual
  • 财政年份:
    2022
  • 资助国家:
    加拿大
  • 起止时间:
    2022-01-01 至 2023-12-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

Moduli spaces of flat bundles over surfaces have been the subject of intensive investigation in both physics and mathematics. On the physics side these spaces appear in conformal field theory, gauge theory and string theory, while mathematically they arise in a variety of contexts in symplectic geometry, algebraic geometry, knot theory, and representation theory. Beginning with the work of Atiyah-Bott and Witten in the 1980s, the moduli spaces have been studied using techniques from symplectic geometry and the theory of momentum maps. (Symplectic manifolds arise as classical phase spaces in physics, while momentum maps play the role of angular momentum.) Closely related to the moduli spaces of flat bundles are the moduli spaces of complex structures, up to isotopy (Teichmueller spaces) or up to diffeomorphism (moduli spaces of curves). The moment map techniques enters through the Weil-Petersson symplectic structure on Teichmueller spaces, and were used in classical work of Wolpert, Goldman, and Mirzakhani, as well as in recent work by physicists on Virasoro coadjoint orbits. Over the past 15 years, Dirac geometry has emerged as a fundamental tool in the study of moduli spaces. Originally designed by Weinstein and Courant as a framework for Dirac's theory of mechanical systems with constraints, it was found to provide the appropriate setting for the finite-dimensional approach to moduli spaces via non-linear momentum maps, the so-called quasi-Hamiltonian spaces. From the physics perspective, this geometry enters the theory of D-branes in string theory as well as aspects of mirror symmetry. The principal objectives of this proposal are as follows: An exploration of Hamiltonian spaces for Virasoro Lie algebras, the application of quasi-Hamiltonian and moment map techniques to Teichmueller spaces, the investigation of Kaehler structures on moduli spaces,  and the theory of Lie algebroids and Lie groupoids with weightings. This research will contribute to the theory of infinite-dimensional Hamiltonian systems in general, and those related to moduli spaces of bundles in particular. The project includes several subtopics that will be suitable as problems for students at the Ph.D. and M.Sc. levels.
曲面上平坦丛的模空间一直是物理和数学领域的研究热点。在物理方面,这些空间出现在保形场理论、规范理论和弦理论中,而在数学上,它们出现在辛几何、代数几何、纽结理论和表示论的各种背景下。从20世纪80年代Atiyah-Bott和Witten的工作开始,利用辛几何和动量映射理论研究了模空间。(辛流形作为物理学中的经典相空间出现,而动量映射则扮演角动量的角色。)与平坦丛的模空间密切相关的是复杂结构的模空间,上至保序(Teichmueller空间),下至微分同胚(曲线模空间)。矩映射技术通过Teichmueller空间上的Weil-Petersson辛结构进入,并被用于Wolpert,Goldman和Mirzakhani的经典工作,以及物理学家最近关于Virasoro共轭轨道的工作。在过去的15年里,狄拉克几何已经成为研究模空间的基本工具。它最初是由Weinstein和Courant设计的,作为狄拉克约束力学系统理论的框架,它被发现通过非线性动量映射,即所谓的准哈密顿空间,为有限维方法提供了适当的环境。从物理学的角度来看,这个几何学进入了弦理论中的D-膜理论,以及镜像对称性的方面。这一建议的主要目的是:探索Virasoro李代数的哈密顿空间,拟哈密顿和矩映射技巧在Teichmueller空间中的应用,模空间上的Kaehler结构的研究,以及带权李代数体和李群胚的理论。这一研究将有助于无限维哈密顿系统的一般理论,特别是与丛的模空间相关的理论。该项目包括几个副主题,适合作为博士和理科学生的问题。级别。

项目成果

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专著数量(0)
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专利数量(0)

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  • 期刊:
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  • 通讯作者:
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