Wakamatsu倾斜理论与同调不变量

We will introduce the notions of the (adjoint) cotranspose of modules and (adjoint) cotorsionfree modules with respect to a Wakamatsu tilting bimodule C. By using the approximation theory and the properties of the cograde of modules, we will establish the relationship between C-cotorsionfree modules (adjoint C-cotorsionfree modules respectively) and C-projective cosyzygy modules (C-injective syzygy modules respectively), and give the dual versions of the classical spherical approximation theorem and Cohen-Macaulay approximation theorem by M. Auslander and M. Bridger. We will study the relation between the Bass class (Auslander class respectively) and the class of C-cotorsionfree modules (adjoint C-cotorsionfree modules respectively). We will give equivalent characterizations of the left and right projective dimensions of C being finite by using the properties of (adjoint) cotorsionfree modules, and study the properties of some relative homological dimensions related to C and the relation among them and the injective and projective dimensions of C. Based on these, we will study the Wakamatsu tilting conjecture and Gorenstein symmetric conjecture. We will study the representation dimension of Auslander (regular) algebras and determine its upper bound. We try to make essential progress on these problems, which will be significant in homological algebra and representation theory of algebras.

相对于Wakamatsu倾斜双模C，引入模的（伴随）余转置和（伴随）余挠自由模等概念。利用逼近理论和模的余级数的性质建立C-余挠自由模（伴随C-余挠自由模）与C-投射余合冲模（C-内射合冲模）之间的联系，给出M. Auslander和M. Bridger经典的球面逼近定理和Cohen-Macaulay逼近定理的对偶形式。研究Bass类（Auslander类）与C-余挠自由模类（伴随C-余挠自由模类）之间的关系。用（伴随）C-余挠自由模的性质给出C的左、右投射维数是有限的等价刻画，并研究与C相关的相对同调维数的性质以及它们与C的内射维数和投射维数之间的关系。在这些工作的基础上，研究Wakamatsu倾斜猜想和Gorenstein投射猜想。研究Auslander（正则）代数的表示维数，确定其上界。争取在这些问题的研究中取得本质性的进展，这将在同调代数和代数表示论中具有重要的理论意义。

相对于Wakamatsu倾斜双模ω，引入了模的伴随余转置和伴随余挠自由模等概念。利用逼近理论和模的余级数的性质建立了ω-余挠自由模（伴随ω-余挠自由模）与ω-投射余合冲模（ω-内射合冲模）之间的联系，给出了经典的Auslander-Bridger逼近定理的对偶形式。研究了Bass类（Auslander类）与ω-余挠自由模类（伴随ω-余挠自由模类）之间的关系。用（伴随）ω-余挠自由模的性质给出了ω的左、右投射维数是有限的等价刻画，并研究了与ω相关的相对同调维数的性质以及它们与ω的内射维数和投射维数之间的关系。在这些工作的基础上，给出了Wakamatsu倾斜猜想的部分回答。证明了Artin代数R满足有限维数猜想﹑强Nakayama猜想﹑广义Nakayama猜想﹑Auslander-Gorenstein猜想﹑Nakayama猜想和Gorenstein对称猜想中的任意一个当且仅当R[t]/(t^n)满足这些猜想中的同一个，从而较大地扩展了这些猜想成立的范围。.用投射维数≤n的模范畴的性质等价刻画了投射维数≤n的倾斜模的加法等价类何时有极小元；建立了K[x]/(x^n)的Auslander代数的基本的支撑τ-倾斜模的同构类与对称群S_{n+1}之间的一一对应。.证明了有界纯导出范畴可由特定的同伦范畴实现。引入了纯导出范畴中复形的纯投射维数和纯内射维数的概念，分别用纯投射分解和纯内射分解的性质结合纯导出函子的性质给出了这些维数的计算方法；由此得到了环的纯整体维数是有限的一些等价刻画。利用同伦（余）极限的技巧，证明了任意下有界的复形和上有界的复形分别有纯投射分解和纯内射分解。证明了任意Artin代数上的有限生成模的有界同伦范畴都有Auslander-Reiten三角。.在有小Ext群的Abel范畴中，证明了平衡对与有足够多的投射对象和内射对象的Ext(-, -)的子函子，以及有足够多的投射对象和内射对象的Quillen正合结构之间具有一一对应关系；得到了正合版本的Wakamatsu引理，构造了模范畴中的一些（预）覆盖类，（预）包络类和既完备又遗传的余挠对。

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