フェーズフィールドモデルによる凝固現象の解析

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結晶成長におけるパターンの形成は自然界における典型的な自発的構造形成の例である。フェーズフィールドモデルが樹枝状結晶のように複雑な形態の形成を記述することができる優れたモデルであることが小林によって示されて以来、このモデルは多くの研究者の興味を集めるようになった。このモデルは、物理的にも数学的にも、またシミュレーション技術としても非常におもしろい問題をふくんでおり、現在様々な角度から研究されつつある。純物質の凝固に関する3次元シミュレーションにより、デンドライトのサイドブランチ構造が異方性強度に敏感に依存することが明らかになった。また、デンドライト主枝の成長速度が異方性強度の変化によってHopf分岐を起こすことが確認された。さらに、特殊な異方性を含んだフェーズフィールドモデルの特異極限についての数学的導出を行った。また、W.J.Boettingerらとの共同研究により、拡張されたフェーズフィールドモデルを用いて、2相合金の凝固過程において生じる固相内の濃度分布の不均一をシミュレートすることに成功した。ただし、この拡張モデルにおいては固有の数値的困難が存在し、現在のところ合金のデンドライトのシミュレーションには成功していない。これは次の課題のひとつである。池田は反応拡散系における内部遷移層の特異極限として界面の運動方程式を導き、その数値的アルゴリズムを開発した。また、四ツ谷は界面化学反応の数学的モデルを解析する理論を建設中である。これらはフェーズフィールドモデルの数値的理論的解析と密接に関連しているので、さらなる共同研究が必要である。