ホロノミック系からの量子群・可解格子模型・共形場

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可解格子模型の一つにXXZ模型が知られているが、近年Jimbo‐MiwaらはXXZ模型を表現論的に再構成し、その相関関数の積分表示(Contour積分による)を与えた。しかしこの表示は物理量を計算する際にはあまり都合か良くなく検討の余地が十分ある。我々はこれをq-解析の立場から再検討した。その結果、1点函数はラマヌジャンの等式と呼ばれるq-解析の基本等式により直ちに積分できることがわかった。ヤコビ多項式の多変数化のq-アナログとして導入されたのがマクドナルド多項式であり、これはあるq-差分方程式系の解で適当な条件を満たすものとして定義される。このときに用いられるq-差分作用素(マクドナルド作用素)はqが1のときは展開環のセンターから来ることからqの場合もそのように期待される。そして実際にA型の場合ではあるが量子展開環Uq(gl(n))のセンターの動径部分を計算すると問題のマクドナルド作用素が得られることを示した。mixed Hodge structureと高次元におけるglobal residueを応用して、高次元の複素射影空間上のlocal systemに対する交点理論の構成の研究。層の複体のhypercohomologiesとLie環の表現、Verma moduleとの対応を調べることにより、超幾何微分方程式の量子化の導出のための指導原理を与える研究。Selberg型積分の組み合わせ論的側面を注目し、これらを統一的にあつかう研究。代数幾何で既知の各種の消滅定理とlocal systemの(co)homology群の消滅定理間の対応関係を明確にすることにより、より一般的かつ有効な消滅定理の研究。