古典的現代的多変数超幾何函数の接続問題とその発展

複素解析的線形微分方程式論における解の接続問題が解けている例は一変数の場合ですら非常に少ない．それを踏まえ，Appell, Lauricellaらによる古典的多変数超幾何函数と共形場理論のKnizhnik-Zamolodchikov方程式やDotsenko-Fateev方程式の解やHeckman-Opdamの超幾何函数などの現代的多変数超幾何函数を総合的・俯瞰的に考察することによって，一般のn変数で解ける接続問題の例の多くを発見・蓄積・整理し，次の段階へ発展させることが本研究の目的である．これについての本年度の研究実績は次の通り．(1) Appellの$E_1$方程式に関する接続問題については，前研究課題期間中に満足のいく結果が得られたことはすでに報告済みであり，部分的に発表済みであるが，この結果を，より系統的にスッキリ得られるようまとめ直す（簡明な別証明を与えることを含む）ことに労力を費やした．その結果，２００頁ほどの原稿がほぼ最終段階に達した（以前の方法では３００頁以上のものになりそうであった）．(2) Dotsenko-Fateev方程式に付随するモノドロミー表現が既約となるためのほぼ必要にして十分な条件を決定した．その際，方程式の解を表わす積分の被積分函数の指数に対する解析性や，解の一次独立性を保証するWronskianを具体的に求めた．得られた条件は，被積分函数の特異性（パラメータに対する共鳴条件）を起源にもつもので尽きないという点で，全く新しいものである．これは予想外であり，面白い現象を発見したと思っている．(3) q差分版の考察のための準備として，Ramanujanの${}_1\psi_1$-和公式，Slaterの${}_{2m}\psi_{2m}$-和公式を再考察した．おかげで，それらの新たな導出法を発見した．

複素解析的線形微分方程式論における解の接続問題が解けている例は一変数の場合ですら非常に少ない．それを踏まえ，Appell, Lauricellaらによる古典的多変数超幾何函数と共形場理論のKnizhnik-Zamolodchikov方程式やDotsenko-Fateev方程式の解やHeckman-Opdamの超幾何函数などの現代的多変数超幾何函数を総合的・俯瞰的に考察することによって，一般のn変数で解ける接続問題の例の多くを発見・蓄積・整理し，次の段階へ発展させることが本研究の目的である．これについての本年度の研究実績は次の通り．(1) Appellの$E_1$方程式に関する接続問題については，前研究課題期間中に満足のいく結果が得られたことはすでに報告済みであり，部分的に発表済みであるが，この結果を，より系統的にスッキリ得られるようまとめ直す（簡明な別証明を与えることを含む）ことに労力を費やした．その結果，２００頁ほどの原稿がほぼ最終段階に達した（以前の方法では３００頁以上のものになりそうであった）．(2) Dotsenko-Fateev方程式に付随するモノドロミー表現が既約となるためのほぼ必要にして十分な条件を決定した．その際，方程式の解を表わす積分の被積分函数の指数に対する解析性や，解の一次独立性を保証するWronskianを具体的に求めた．得られた条件は，被積分函数の特異性（パラメータに対する共鳴条件）を起源にもつもので尽きないという点で，全く新しいものである．これは予想外であり，面白い現象を発見したと思っている．(3) q差分版の考察のための準備として，Ramanujanの${}_1\psi_1$-和公式，Slaterの${}_{2m}\psi_{2m}$-和公式を再考察した．おかげで，それらの新たな導出法を発見した．