量子群・共形場・可解格子模型・ホロノミック q-差分系の相互理解とその発展

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q-セルバーグ積分を一般化した函数(ただし本質的には1変数函数)に付随する1階のq-差分系の表示を与えた。ここで係数行列を見るとヤン-バクスター方程式の三角函数解と対応していることがわかる。ついで方程式の係数に現れる行列の行列式を特別な場合に限り計算したが、その結果から行列式の表示の一般的な予想がつき、それを踏まえてロンスキアンの満たすq-差分方程式、ロンスキアンたちの間の接続係数等を具体的に与えた。セルバーグ型の積分表示をもつある種の多変数函数のみたすガウスマニン系を導出し、これに関する既約性、可約性を論じた。ここで方程式の既約性、可約性はモノドロミー表現のそれで定義するする。まずある特別な場合に既約条件を求めるいっぽう可約な条件を幾つかリストアップした。またこの過程の議論を用いてガウスマニン系の係数から生成されるリー環が一般線形リー環になることが(特別な場合に)しめされた。また、これらの応用としてルート系に付随した超幾何函数の積分表示が得られた。一般化超幾何函数のq-アナログに付随する1階のq-差分系を具体的に表示した。次いで方程式の係数に現れる行列の行列式を計算することにより、ロンスキアンの満たすq-差分方程式、さらにはその接続係数を導出した。量子一般線形群GL q(n+1)の構造論・表現論の確立と、量子対称空間SU q(n+1)/SU q(n)のハール測度、帯球函数を決定した。ここで初めて量子群GL q(n)の有限次元表現に関してのスタンダードモノミアル理論が確立された。帯球関数はリトル・q-ヤコビ多項式により表示され、その直交性はハール測度のジャクソ積分表示に由来している。確定特異点型の常微分方程式系の理論として大久保理論が知られているが、既存の函数以外にどのようなあたらしい函数が現れているのか不明であったが、そのひとつにたいして積分表示を与えた。