Zetafunktionen und lokal symmetrische Räume

在Zahlentheorie和代数几何的经典Zetafunktionen，与Riemann，Dirichlet，Dedekind，Artin，Hasse或Weil等人的共同努力下，Ruelle和Smale的动力Zetafunktionen在近几年也在数学上得到了很好的发展，但并没有被他们的量子混沌理论所取代。Beispiele solcher Zetafunktionen sind die Selberg-Funktionen geodätischer Flüsse auf Räumen negativer Krümmung，deren Singularitäten u.a.也有特殊的量子系统特征。Andere Beispiele sind die Artin-Weil-Zetafunktion für algebraische Varietäten über endlichen Körpern und eventuell auch die Riemann'sche Zetafunktion，wofür es zumindest erste Hinweise gibt.对动力系统的分析和功能分析的研究，将有助于协调分析的解决，也有助于动力系统理论的新方法。在调和分析中，我们可以利用Zuckerman-Moduln的仿射对称性和几何实在性来展开研究，因为我们的研究方法也可以在局部对称性上进行，并且我们可以通过Harish-Chandra模中的Werten和它的全球化来进行新的研究。动力学系统的建立主要是热力学公式和传递算子方法。这是一个非常复杂的问题，因为它可以使人们更好地理解两种功能之间的奇异性，但也可以使人们更好地理解这一点。Neben einer dringend notwendigen Erweiterung der bisher für Spezialfälle erzielten Resultate wires es ein besonderes Anliegen der Forschergruppe sein，die genauen Zusammenhänge der mit den verschiedenen Methoden gewonnenen Charakterisierungen dynamischer Zetafunktionen zu verstehen。Die erfolgreiche Durchführung eines solchen Programms bedarf einer Zusammenführung der in den verbedenen Arbeitsgruppen bisher verfolgten und auch wichtige Resultate gezeitigten Ansätze.在一个通过计算和分析来进行项目评估的过程中，也可以通过一个通用的Gästeprogramm来设计动力学Zetafunktionen理论和具有计算和分析Zetafunktionen的Zusammenhänge，方法是非常简单的，韦尔登，在德国只有很少的工人群体可以使用。

Neben den klassischen Zetafunktionen der Zahlentheorie und der algebraischen Geometrie, die eng mit den Namen Riemann, Dirichlet, Dedekind, Artin, Hasse oder Weil verbunden sind, haben in den letzten Jahren die dynamischen Zetafunktionen von Ruelle und Smale auch außerhalb der Mathematik starkes Interesse gefunden, nicht zuletzt wegen ihrer Beziehungen zur Theorie des Quantenchaos. Beispiele solcher Zetafunktionen sind die Selberg-Funktionen geodätischer Flüsse auf Räumen negativer Krümmung, deren Singularitäten u.a. auch spektrale Eigenschaften des entsprechenden Quantensystems beschreiben. Andere Beispiele sind die Artin-Weil-Zetafunktion für algebraische Varietäten über endlichen Körpern und eventuell auch die Riemann'sche Zetafunktion, wofür es zumindest erste Hinweise gibt. Zur Untersuchung der Analytizitätseigenschaften und Funktionalgleichungen dieser dynamischen Zetafunktionen wurden neben Ansätzen der harmonischen Analysis auch neue Methoden aus der Theorie der dynamischen Systeme eingesetzt. In der harmonischen Analysis spielen dabei jüngere Entwicklungen wie der Plancherelsatz für affine symmetrische Räume und geometrische Realisierungen von Zuckerman-Moduln eine wichtige Rolle, weil die dort verwendeten Methoden sich zum Teil auch auf lokal symmetrische Räume übertragen lassen und zu wichtigen neuen Ergebnissen über Plancherel- und Spurformeln sowie die Kohomologie diskreter Gruppen mit Werten in Harish-Chandra Moduln und ihre Globalisierungen geführt haben. Von der Seite der dynamischen Systeme sind vor allem der Thermodynamische Formalismus und die Transfer Operator Methode zu nennen. Im Rahmen dieser Zugänge erhält man zunächst ganz verschiedene Charakterisierungen der Singularitäten der betrachteten Zetafunktionen, aber auch erste Hinweise auf mögliche Zusammenhänge. Neben einer dringend notwendigen Erweiterung der bisher für Spezialfälle erzielten Resultate wird es ein besonderes Anliegen der Forschergruppe sein, die genauen Zusammenhänge der mit den verschiedenen Methoden gewonnenen Charakterisierungen dynamischer Zetafunktionen zu verstehen. Die erfolgreiche Durchführung eines solchen Programms bedarf einer Zusammenführung der in den verschiedenen Arbeitsgruppen bisher verfolgten und auch wichtige Resultate gezeitigten Ansätze. In aufeinander abgestimmten Projekten soll durch gegenseitige Beratung und Unterstützung, insbesondere auch durch ein gemeinsames Gästeprogramm die Theorie der dynamischen Zetafunktionen und deren Zusammenhänge mit den arithmetischen und spektralen Zetafunktionen, methodenübergreifend weiterentwickelt werden, womit sich bisher in Deutschland nur wenige Arbeitsgruppen beschäftigen.