Herleitung, Implementation und Validierung beweisbar korrekter Methoden zur Oberflächen- und Volumenrekonstruktion unter realen Bedingungen

数字表示在医学（计算机几何学）、生物信息学（蛋白质结合仿真）、机器人技术（工程规划）和工程科学（逆向工程）等领域都有实际应用，其中包括对物体的几何生成和拓扑修正。上翼结构的问题不是新的，而且是非常复杂的沃登。Während frühe Arbeiten wie der Moving Least Squares-Schemus [15] keine Garantien für die Korrektheit der rekstruierten Oberfläche geben，wurde in späteren Untersuchungen das Ziel verfolgt，Rekstruktionsmethoden zu entwickeln，die unter definierten Bedingungen（wie z.B.一个由一个光滑的Oberfläche（上平面）组成的抽象点的定义保证了原始Oberfläche的重建达到了拓扑标准的要求。Zwar lassen sich mit der fortschreitenden Entwicklung der Aufnahmegeräte（z.B.结构光三维扫描仪，伦琴-CT-Geräte）immer feinere geometrische细节erfassen，doch wachsen die Ansprüche an die Genauigkeit der digitalen Repräsentationen mit dem selben格拉德.显然，如果将Oberflächen理论应用于Oberflächen的结构设计方法，那么Oberflächen理论就不可能解释韦尔登的存在，这是不现实的。Daher besteht der Bedarf nach Methoden，die auch relativ zur Abtastarte sehr kleine Strukturen，sowie Ecken and Kanten mit beweisbar korrekten topologischen Eigenschaften rekonstruieren können. Weitere wünschenswerte Eigenschaften eines Oberflächenrekonstruktionsaltymus sind Robustheit gegenüber Rauschen，d.h.这是一个巨大的缺口，而且在格伦茨弗莱舍的一个更大的地区。Im bisherigen Projektzeitraum wurde ein neues Verfahren hergeletet，das es estmals erlaubt，auch für mehrere aneinanderzerzerzerznicht-glatte Regionen die Grenzflächen bei verrauschten Abtastpunkten von vergleichsweise geringer Dichte nach gewissen topologischen Kriterien（Homöomorphie der Regionen，Homotopieäquivalenz der Grenzflächen）correkt zu rekonstruieren [23]。Zukünftiges Ziel ist，zum einen dieses Verfahren derart zu erweitern，dass es für lokal variierende Abtastillten verwendbar ist，zum anderen dessen Anwendbarkeit in realen Anwendungen zu untersuchen.这种3D上平面扫描也可以通过计算机断层扫描和磁共振断层扫描来实现。

Digitale Repräsentationen realer Objekte gewinnen zunehmend in Anwendungsbereichen wie der Medizin (Computergestützte Chirurgie), Bioinformatik (Proteinbindungssimulationen), Robotik (Bewegungsplanung) und Ingenieurwissenschaften (Reverse Engineering) an Bedeutung, bei denen es insbesondere auf nachweisbare geometrische Genauigkeit und topologische Korrektheit der Objektrepräsentationen ankommt. Das Problem der Oberflächenrekonstruktion ist nicht neu und ist bereits gut untersucht worden. Während frühe Arbeiten wie der Moving Least Squares-Algorithmus [15] keine Garantien für die Korrektheit der rekonstruierten Oberfläche geben, wurde in späteren Untersuchungen das Ziel verfolgt, Rekonstruktionsmethoden zu entwickeln, die unter definierten Bedingungen (wie z.B. eine erforderliche Dichte von Abtastpunkten auf einer glatten Oberfläche) garantieren, dass die Rekonstruktion mit der originalen Oberfläche nach gewissen topologischen Kriterien übereinstimmt. Zwar lassen sich mit der fortschreitenden Entwicklung der Aufnahmegeräte (z.B. Structured Light 3D Scanner, Röntgen-CT-Geräte) immer feinere geometrische Details erfassen, doch wachsen die Ansprüche an die Genauigkeit der digitalen Repräsentationen mit dem selben Grad. Hinzu kommt, dass die Erfordernis von glatten Oberflächen bei bisherigen Ober- flächenrekonstruktionsmethoden impliziert, dass Oberflächen an nicht-glatten Stellen (wie Ecken oder Kanten) theoretisch unendlich dicht abgetastet werden müssten, was nicht realisierbar ist. Daher besteht der Bedarf nach Methoden, die auch relativ zur Abtastdichte sehr kleine Strukturen, sowie Ecken und Kanten mit beweisbar korrekten topologischen Eigenschaften rekonstruieren können. Weitere wünschenswerte Eigenschaften eines Oberflächenrekonstruktionsalgorithmus sind Robustheit gegenüber Rauschen, d.h. Meßungenauigkeiten der Abtastpunkte, und die Anwendbarkeit auf Grenzflächen mehrerer aneinandergrenzender Regionen. Im bisherigen Projektzeitraum wurde ein neues Verfahren hergeleitet, das es erstmals erlaubt, auch für mehrere aneinandergrenzende nicht-glatte Regionen die Grenzflächen bei verrauschten Abtastpunkten von vergleichsweise geringer Dichte nach gewissen topologischen Kriterien (Homöomorphie der Regionen, Homotopieäquivalenz der Grenzflächen) korrekt zu rekonstruieren [23]. Zukünftiges Ziel ist, zum einen dieses Verfahren derart zu erweitern, dass es für lokal variierende Abtastdichten verwendbar ist, zum anderen dessen Anwendbarkeit in realen Anwendungen zu untersuchen. Dies schliesst sowohl 3D-Oberflächen-Scans als auch extrahierte Oberflächen aus Computertomographie- und Magnetresonanztomographieaufnahmen ein.