2-Adic valuations of Stirling numbers of the first kind
2-Adic valuations of Stirling numbers of the first kind
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第一类斯特林数的 2-Adic 估值
DOI：
10.1142/s1793042119501021
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发表时间：
2018-12
影响因子：
0.7
通讯作者：
Hong Shaofang
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Qiu Min;Hong Shaofang
设[公式：见正文]和[公式：见正文]为正整数。我们用[公式：见正文]表示[公式：见正文]的2-adic估值。第一类斯特林数，用[公式：见正文]表示，计算[公式：见正文]元素与[公式：见正文]不相交循环的排列数。近年来，Lengyel、Komatsu 和 Young、Leonetti 和 Sanna 以及 Adelberg 在 [公式：见正文]-adic 估值的研究上取得了一些进展。在本文中，通过引入第一类斯特林数的概念并提供详细的2-adic分析，我们给出了关于[公式：见正文]的2-adic评估的显式公式。我们还证明 [公式：参见文本] 对于 1 到 [公式：参见文本] 之间的所有整数 [公式：参见文本] 成立。作为推论，如果 [公式：参见文本] 为奇数并且 [公式：参见文本]，我们将证明 [公式：参见文本]。这部分证实了Lengyel在2015年提出的猜想。此外，我们证明了如果[公式：见文本]，则[公式：见文本]和[公式：见文本]，其中[公式：见文本]代表[公式：见文本]的第[公式：见文本]初等对称函数。后者支持了Leonetti和Sanna在2017年提出的猜想。
Let [Formula: see text] and [Formula: see text] be positive integers. We denote by [Formula: see text] the 2-adic valuation of [Formula: see text]. The Stirling numbers of the first kind, denoted by [Formula: see text], count the number of permutations of [Formula: see text] elements with [Formula: see text] disjoint cycles. In recent years, Lengyel, Komatsu and Young, Leonetti and Sanna, and Adelberg made some progress on the study of the [Formula: see text]-adic valuations of [Formula: see text]. In this paper, by introducing the concept of [Formula: see text]th Stirling numbers of the first kind and providing a detailed 2-adic analysis, we show an explicit formula on the 2-adic valuation of [Formula: see text]. We also prove that [Formula: see text] holds for all integers [Formula: see text] between 1 and [Formula: see text]. As a corollary, we show that [Formula: see text] if [Formula: see text] is odd and [Formula: see text]. This confirms partially a conjecture of Lengyel raised in 2015. Furthermore, we show that if [Formula: see text], then [Formula: see text] and [Formula: see text], where [Formula: see text] stands for the [Formula: see text]th elementary symmetric functions of [Formula: see text]. The latter one supports the conjecture of Leonetti and Sanna suggested in 2017.
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