Mathematical Sciences: Spectral and Fractal Geometry for Variational Elliptic Boundary Value Problems
数学科学:变分椭圆边值问题的谱和分形几何
基本信息
- 批准号:8904389
- 负责人:
- 金额:$ 4.9万
- 依托单位:
- 依托单位国家:美国
- 项目类别:Continuing Grant
- 财政年份:1989
- 资助国家:美国
- 起止时间:1989-06-15 至 1991-01-31
- 项目状态:已结题
- 来源:
- 关键词:
项目摘要
The relationship between the geometry of a manifold and the invariants of the elliptic differential operators on it is one of the main unifying themes of contemporary mathematical research. (For instance, the natural frequencies of a vibrating membrane constitute the spectrum of a differential operator called the Laplacian; knowing the spectrum, one can infer a great deal about the shape of the membrane.) The case of a region with fractal boundary, so irregular that its dimension is no longer an integer, has been the setting for some recent breakthroughs relating spectral information to geometry. In particular, thanks to work of Professor Lapidus and a French colleague of his, it is now known that one can recover the dimension of the boundary from the spectrum of the Laplacian in such a region. This work, which has involved both computer experimentation and sophisticated mathematical technique, has applications to the study of porous media and the scattering of waves from fractal surfaces. Its continuation is the main thrust of the project supported by this award. More precisely, Lapidus will investigate sharpened forms of the asymptotic formula for the eigenvalue distribution of Laplace operators with various boundary conditions. The goal is to make yet clearer the role of the Minkowski dimension of the boundary in this distribution. There are analogous formulas for the trace of the associated heat semigroup. The case in which not only the boundary of the domain, but the domain itself, is fractal will be studied.
流形的几何与 椭圆微分算子的不变量是其中之一, 当代数学研究的主要统一主题。 (For例如,振动膜的固有频率 构成了一个微分算子的谱,称为 Laplacian;知道频谱,人们可以推断出很多关于 膜的形状)。一个地区的情况下, 分形边界,如此不规则,其尺寸不再是 一个整数,是最近一些突破的背景 将光谱信息与几何形状相关联。特别感谢 拉皮德斯教授和他的一位法国同事的研究, 现在知道,可以恢复边界的尺寸, 拉普拉斯算子在这样一个区域的频谱。这项工作 涉及计算机实验和复杂的 数学技术,应用于多孔介质的研究, 介质和分形表面的波散射。其 继续是该项目的主要推动力, 奖 更准确地说,拉皮德斯将研究尖锐的形式, 拉普拉斯特征值分布的渐近公式 具有各种边界条件的算子。目标是使 更清楚明可夫斯基维的作用 在这个分布中。有类似的公式, 相关的热半群。在这种情况下,不仅 域的边界,但是域本身,是分形的, 研究了
项目成果
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