Hausdorffmaß in der Komplexen Dynamik

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Die Computergraphiken von Juliamengen und anderen in der Komplexen Dynamik auftretenden Mengen sind auch für Nichtmathematiker faszinierend. Der anschauliche Dimensionsbegriff ist zur Beschreibung dieser ” fraktalen” Mengen ungeeignet. Tatsächlich ist die sogenannte Hausdorffdimension oft nicht ganzzahlig. Auch wenn etwa die Hausdorffdimension 2 ist, kann der Flächeninhalt Null sein. Dies gilt etwa für Juliamengen gewisser Exponentialfunktionen. Durch das Hausdorffmaß bzgl. geeigneter Maßfunktionen kann man die ” Größe” einer Menge präziser messen als durch die Dimension. Für Exponentialfunktionen liegen hier schon sehr genaue Abschätzungen vor. Ziel des Forschungsvorhabens ist, entsprechende Resultate f¨ur allgemeine Klassen von Funktionen zu gewinnen. Außer der Juliamenge gibt es noch eine Reihe weiterer Mengen, die in der Komplexen Dynamik relevant sind, etwa die entkommende Menge, die aus den Punkten besteht, die unter Iteration nach unendlich streben. Bei Exponentialfunktionen ist die entkommende Menge eine Teilmenge der Juliamenge. Sie hat Hausdorffdimension 2, aber für sogenannte hyperbolische Funktionen hat ihr Komplement in der Juliamenge eine Hausdorffdimension, die echt zwischen 1 und 2 liegt. Es soll untersucht werden, inwieweit ähnliche oder auch andere Ergebnisse für umfassendere Funktionenklassen gelten.