Arithmetik über endlich erzeugten Körpern

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Eines der klassischen Probleme der algebraischen Zahlentheorie betrifft die Beschreibung der abelschen Erweiterungen eines Zahlkörpers. Dieses Problem wurde in der sogenannten Klassenkörpertheorie durch Hilbert, Tagaki und Artin in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts gelöst. Die moderne arithmetische Geometrie vereinigt Zahlentheorie mit algebraischer Geometrie. Aus der Perspektive der Klassenkörpertheorie handelt es sich dabei um den Übergang von Zahlkörpern zu endlich erzeugten Körpern und deren geometrischen Modellen, wobei das Problem der abelschen Erweiterungen auch hier mittlerweile gut verstanden ist. Teilweise oder gänzlich offen hingegen sind im höheren Fall Probleme, die mit der Klassenkörpertheorie eng zusammenhängen bzw. diese verallgemeinern, etwa eine von Kato formulierte Hassevermutung. Ebenfalls kaum untersucht sind abelsche Varietäten über endlich erzeugten Körpern und zugehörige Endlichkeitsvermutungen über höhere Tate–Shafarevich Gruppen und spezielle Werte von L-Funktionen. Ziel ist es einerseits Hassevermutungen und gewisse Verallgemeinerungen zu beweisen. Andererseits sollen grundlegende Erkenntnisse über die Endlichkeit von Tate-Shafarevich Gruppen und über spezielle Werte von L-Funktionen aus dem klassischen Fall auf endlich erzeugte Körper übertragen werden.