Einseitige und zweiseitige Austrittsprobleme für stochastische Prozesse

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Stochastische Prozesse modellieren den zeitlichen Verlauf einer zufälligen Größe. Wir betrachten hier klassische Modelle für stochastische Prozesse, die gewisse Selbstähnlichkeitseigenschaften aufweisen (,,self-simliar stochastic processes”). Im ersten Teil wenden wir uns der Frage zu, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Prozess ein gewisses Niveau für sehr lange Zeit nicht überschreitet, auch Überlebenswahrscheinlichkeit genannt (gesucht ist der ,,persistence” oder ,,survival” Exponent). Die Lösung hat Auswirkungen in verschiedenen naturwissenschaftlichen Anwendungen, in denen diese Prozesse zur Modellierung eingesetzt werden, insbesondere in der mathematischen Physik (Burgers-Gleichung, Theorie der ungeordneten Systeme). Obwohl dies eine klassische Frage der Wahrscheinlichkeitstheorie ist, fehlen hier selbst für sehr einfache Prozesse noch genaue Resultate. Im zweiten Teil geht es darum, wie regulär ein stochastischer Prozess ist, also z.B. differenzierbar o.ä. Dies lässt sich in Verbindung bringen mit der Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess einen schmalen Schlauch nicht verlässt, bekannt als Theorie der kleinen Abweichungen (,,small deviations”). Das Ziel ist die Untersuchung des genauen Zusammenhangs für verschiedene Klassen (Gaußprozesse, Lévyprozesse, nicht-Gaußsche stabile Prozesse, Diffusionen). Dabei ist es nötig, die Prozesse mit Hilfe von glatten Funktionen (Wavelets) zu approximieren.