Poisson Lie groups, integrable systems, and representation theory
泊松李群、可积系统和表示论
基本信息
- 批准号:0406057
- 负责人:
- 金额:$ 9.92万
- 依托单位:
- 依托单位国家:美国
- 项目类别:Standard Grant
- 财政年份:2004
- 资助国家:美国
- 起止时间:2004-11-15 至 2007-10-31
- 项目状态:已结题
- 来源:
- 关键词:
项目摘要
The primary goal of this project is to investigate the geometry of severallarge classes of Poisson structures on Lie groups and their homogeneousspaces. They include the Belavin-Drinfeld Poisson structures on complex simpleLie groups and their Poisson homogeneous spaces, and Poisson structures onKac-Moody groups and real simple groups. The project is based on employing noveltechniques from Lie theory and ring theory which in particular relatethe above geometric problems to studies of the primitive spectra of universalenveloping algebras of Lie algebras that are in general neither solvable,nor semisimple. The principal investigator will work on applications of theseproblems to the study of integrable systems (whose phase spaces are symplecticleaves of the above Poisson structures) and representations of Hopf algebras,e.g. algebras of regular functions on non-standard quantum groups constructedby Etingof-Kazhdan and Etingof-Schedler-Schiffmann by explicit quantizations ofBelavin-Drinfeld r-matrices. He will further address applications to combinatorics:the theory of cluster algebras of Fomin and Zelevisky, and intersections of dualSchubert cells (related to symplectic leaves of special Poisson structures onflag varieties). The second part of the project concerns applications of theinfinite dimensional Poisson Lie group of formal pseudo-differential operators toproblems in the theory of bispectrality of Duistermaat and Grunbaum, e.g. using thecorresponding dressing action of Semenov-Tian-Shansky to construct subalgebrasof infinitesimal "additional symmetries" of the KP hierarchy that preserve manifoldsof bispectral wave functions. The project will further investigate relationsbetween bispectrality and the prolate spheroidal phenomenon of Landau, Pollak, andSlepian, which first appeared in time-band limiting but consequently played animportant role in random matrix theory as well. In particular this proposal targetsintegral operators related to the infinite dimensional class of bispectral algebrasof ranks 1 and 2, all of which posses commuting differential operators, provedin previous works of the investigator.The major problems in many areas of mathematics and mathematical physics arerelated to the study of the symmetries (transformation groups) of theobjects or models, under investigation. Recently generalized symmetries (Hopfalgebras) have played an increasingly prominent role in many fields. This projectinvestigates geometric structures related to deformations of classical symmetries(algebraic groups) to generalized symmetries (Hopf algebras) and their applicationsto problems in dynamical systems, algebra, combinatorics, and applied mathematics.
本课题的主要目标是研究李群及其齐次空间上的几大类泊松结构的几何性质。它们包括复简单群及其泊松齐次空间上的Belavin-Drinfeld泊松结构,以及kac - moody群和实简单群上的泊松结构。该项目是基于利用李理论和环理论的新技术,特别是将上述几何问题与李代数的普遍包络代数的原始谱的研究联系起来,这些代数通常既不可解,也不半简单。首席研究员将研究这些问题在可积系统(其相空间是上述泊松结构的辛叶)和Hopf代数表示中的应用。用显式量化的belavin - drinfeld r-矩阵构造的Etingof-Kazhdan和etingof - scheduler - schiffmann非标准量子群上的正则函数代数。他将进一步阐述组合学的应用:Fomin和Zelevisky的聚类代数理论,以及双舒伯特细胞的交点(与标志品种上特殊泊松结构的辛叶有关)。项目的第二部分涉及到形式伪微分算子的无限维泊松李群在Duistermaat和Grunbaum的双谱理论问题中的应用,例如使用相应的Semenov-Tian-Shansky修饰作用构造KP层的无穷小“附加对称性”的子代数,这些子代数保留了双谱波函数的流形。本项目将进一步研究双光谱与Landau, Pollak和slepian的长时间球体现象之间的关系,这种现象最初出现在限时带中,但在随机矩阵理论中也发挥了重要作用。特别地,本建议针对与无限维双谱1和2阶代数相关的积分算子,所有这些代数都具有交换微分算子,这在研究者以前的工作中已经证明了。数学和数学物理许多领域的主要问题都与研究对象或模型的对称性(变换群)有关。近年来,广义对称(Hopfalgebras)在许多领域发挥着越来越突出的作用。本项目研究与经典对称(代数群)到广义对称(霍普夫代数)的变形相关的几何结构及其在动力系统、代数、组合学和应用数学中的应用。
项目成果
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