Studies on unstable cohomologies of the automorphism groups of free groups and its associated Lie algebras

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今年度は主に，Outer spaceを利用した階数2の自由群の自己同型群のねじれ係数コホモロジーの計算と，自由群の基底-共役自己同型群のねじれ係数1次元コホモロジー群の計算に関するいくつかの結果が得られた．自由群のアーベル化に自明に作用する自由群の自己同型たちのなす群を自由群のIA自己同型群という．IA自己同型群のアーベル化を記述する自由群の自己同型群のJohnson準同型は，河澄響矢氏の結果により自由群の自己同型群上に非自明なcrossed homomorphismとして拡張することが知られている．一方，研究代表者の先行研究により，自由群のSL(2,C)指標多様体の座標環と自明表現における極大イデアルを用いて，Johnson準同型の類似物が構成されること，並びに自由群の自己同型群上に非自明なcrossed homomorphismとして拡張することが知られている．しかしながら，コホモロジー群そのものの情報は殆ど分かっていない．指導原理としての，古典的なJohnson準同型に関する自由群の自己同型群のコホモロジーの計算例はあるものの，指標多様体の座標環のイデアル降下列の次数商の構造が大変複雑であり，一般の階数での計算は極めて困難である．今年度は階数が2の場合に，Outer spaceの幾何を利用することで，有理1次元コホモロジー群が計算でき，研究代表者が得ていたコサイクルによって生成されていることを示すことができた．この結果は階数が一般の場合の状況を推測する手がかりとしても大変重要であると考えている．他方，Johnson準同型の理論を自由群の基底-共役自己同型群に制限することで，これまでの先行研究の枠組みを適用できるが，Johnson余核，Andreadakis予想，コホモロジー群に関するいくつかの結果が得られ，榎本直也氏と共同で表現論的観点からも精力的に研究中である．