Investigation on Differential Geometry and General Relativity

微分几何与广义相对论研究

基本信息

  • 批准号:
    1406337
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 13.73万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Standard Grant
  • 财政年份:
    2014
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2014-09-01 至 2017-01-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

AbstractAward: DMS 1406337, Principal Investigator: Xin Zhou The physical description of a soap film spanning a wire boundary leads to an important class of surfaces in geometry, called "minimal surface", because the energy-minimization condition that the soap film satisfies corresponds to a surface of least area, at least among nearby surfaces. Also as intrinsic geometric objects of the underlying space, minimal surfaces can be viewed as non-linear analog of the eigenstates in Quantum Mechanics. The mathematical problem that amounts to showing that every bounding wire is spanned by at least one soap film has been studied in detail for many years and admits many important generalizations. Most of the previous techniques for proving such existence properties focused on the "minimizing theory", which corresponds to finding the ground state in Quantum Mechanics. One natural but very difficult technique, called the "min-max theory", corresponding to finding the excited states in Quantum Mechanics (i.e. the eigenstates with energy higher than the ground state), has had striking recent successes, and will be one of the major objects of study in this research program. Another project will study geometric inequalities in general relativity, particularly aiming to understand the mass angular momentum inequalities for axisymmetric initial data sets which model rotating galaxies in astrophysics.More specifically, the principal investigator will study the min-max theory for minimal surfaces via both the geometric measure theory approach and the harmonic map approach. Concerning the geometric measure theory approach, some of the aspects of the min-max theory to be studied in this research program include extensions of the PI's index bound theorem beyond positive Ricci curvature conditions, as well as versions of the Almgren-Pitts min-max theory for more general ambient spaces, including manifolds with boundary and smooth metric measure spaces (where the Bakry-Emery Ricci tensor plays a role). Certain geometric problems related to the Min-max theory will be studied, such as Hersch-type estimates for higher-dimensional minimal hypersurfaces with bounded Morse index. Concerning the min-max theory via harmonic maps, the PI intends to study the issue of Morse index and branch points of the min-max minimal surfaces constructed by Colding-Minicozzi and himself, and the corresponding free boundary problem.
AbstractAward:DMS 1406337,主要研究者:Xin Zhou跨越导线边界的肥皂膜的物理描述导致几何学中一类重要的表面,称为“最小表面”,因为肥皂膜满足的能量最小化条件对应于面积最小的表面,至少在附近的表面中。 同样作为底层空间的内在几何对象,极小曲面可以被视为量子力学中本征态的非线性模拟。 数学问题,相当于表明,每一个边界线是由至少一个肥皂膜跨越已经详细研究了多年,并承认许多重要的概括。 大多数以前的技术证明这样的存在性集中在“最小化理论”,这相当于在量子力学中找到基态。 一种自然但非常困难的技术,称为“最小-最大理论”,对应于寻找量子力学中的激发态(即能量高于基态的本征态),最近取得了惊人的成功,并将成为本研究计划的主要研究对象之一。 另一个项目将研究广义相对论中的几何不等式,特别是旨在理解天体物理学中模拟旋转星系的轴对称初始数据集的质量角动量不等式。更具体地说,首席研究员将通过几何测度理论方法和调和映射方法研究极小曲面的极小极大理论。 关于几何测度理论的方法,本研究计划中要研究的最小-最大理论的一些方面包括PI指数界定理超出正里奇曲率条件的扩展,以及更一般环境空间的Almande-Pitts最小-最大理论的版本,包括具有边界的流形和光滑度量测度空间(其中Bakry-Emery Ricci张量起作用)。 某些几何问题有关的Min-max理论将被研究,如Hersch型估计的高维极小超曲面与有界莫尔斯指数。 关于调和映射下的极小极大理论,PI主要研究由Colding-Minicozzi和他自己构造的极小极大极小曲面的莫尔斯指标和分支点问题,以及相应的自由边界问题。

项目成果

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  • 通讯作者:
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