Die Geometrie einiger Familien von K3-Flächen und symplektische Automorphismen auf K3-Flächen

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Gegenstand dieses Projektes in der Algebraischen Geometrie sind K3-Flächen. Betrachtet man die Nullstellenmenge eines homogenen Polynom vom Grad vier in dem dreidimensionalen komplexen projektiven Raum so bekommt man das einfachste Beispiel einer algebraischen K3-Fläche (die genaue Definition findet man in [BPV], p. 239). Der seltsame Name K3 wird von A. Weil in seinem Final Report on contract AF18(603)-57erklärt: Dans la seconde partie de mon rapport, U s agit des varietes kähleriennes dues K3, ainsi nommees en l honneur de Kummer, Kodaira, Kahler et de la belle montagne K2 au Cachemire.Die K3-Flächen sind von besonderem Interesse wegen ihren wichtigen Eigenschaften, z.B. sind sie alle zueinander diffeomorph, es gilt die Surjektivität der Periodenabbildung und nach einem Theorem von Torelli kann man sie mit Hilfe des transzendeten Gitters und des Picard-Gitters klassifizieren.Sie wurden in den letzten Jahren eingehend untersucht, nicht zuletzt wegen ihrer Rolle in der Physik und insbesondere in der String-Theorie. Neben allgemeinen Resultaten ist es von besonderem Interesse, Beispiele von K3-Flächen zu konstruieren und deren Eigenschaften zu untersuchen. In diesem Antrag, der den ersten fortsetzt, werde ich mich einerseits mit einigen speziellen eindimensionalen Familien von K3-Flächen, die in [BS] und [S3] konstruiert sind, beschäftigen, anderseits werde ich mich mit speziellen Automorphismen auf K3-Flächen beschäftigen (genauer mit symplektischen Automorphismen, ihre Definition gebe ich im Abschnitt über das Arbeitsprogramm). Meine konkrete Ziele sind¿ für das erste Thema des Projekts: Besondere projektive Realisierungen der Flächen zu finden die Shioda-Inose-Struktur zu bestimmen und den Totalraum der Faserung zu beschreiben, insbesondere die Familien in Verbindung mit den Modulräumen von einigen polarisierten abelschen Flächen zu interpretieren (s. die Arbeit [Mu] von Mukai).¿ Für das zweite Thema des Projekts: Bedingungen zu finden1, unter denen eine K3- Fläche einen symplektischen Automorphismus besitzt, ihre Neron-Severi Gruppe und das transzendente Gitter zu bestimmen, bedeutende Beispiele anzugeben und zu diskutieren.