Die Geometrie einiger Familien von K3-Flächen

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Gegenstand dieses Projektes in der Algebraischen Geometrie sind K3-Flächen. Betrachtet man die Nullstellenmenge eines homogenen Polynom vom Grad vier in dem drei-dimensionalen komplexen projektiven Raum etwa so bekommt man das einfachste Beispiel einer algebraischen K3-Fläche (die genaue Definition findet man in [BPV], p.239). Der komische Name "K3" wird von A. Weil in seinem Final Report on contract AF18(603)-57 erklärt: Dans la seconde partie de mon rapport, il s`agit des variètès kähleriènnes dites K3, ainsi nommèes en l`hommeur de Kummer, Kodaira, Kähler et de la belle montagne K2 au Cachemire. Die K3-Flächen sind von besonderem Interesse wegen ihren wichtigen Eigenschaften, z.B. sie sind alle zueinander diffeomorph, es gilt die Surjektivität der Perionabbildung und nach einem Theorem von Torelli kann man sie mit Hilfe des transzendeten Gitters und des Picard-Gitters klassifizieren. Sie wurden in den letzten Jahren reichlich untersucht nicht zuletzt wegen ihrer Rolle in der Physik und insbesondere in der String-Theorie. Neben abstrakten Resultaten ist es von besonderem Interesse Beispiel von K3-Flächen zu konstruieren und deren Eigenschaften zu untersuchen. In diesem Projekt werde ich mich hauptsächlich mit der Geometrie einiger spezieller eindimensionaler Familien von K3-Flächen beschäftigen die in [BS] und [S3] konstruiert sind. Meine Ziele sind: Besondere projektive Realisierungen der Flächen zu finden, die Flächen mit Picard-Zahl 20 in der Familie zu beschreiben, die Shioda-Inose Struktur zu bestimmen und den totalen Raum der Faserung zu beschreiben.