Höhere K-Theorie und p-adische Hodgetheorie in der Iwasawa-Theorie

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Ein Hauptaugenmerk der aktuellen Forschung in (nicht-kommutativer) Iwasawa Theorie ist die Untersuchung bzw. Bestimmung von K-Gruppen von Iwasawa-Algebren und deren (vervollständigten) Lokalisierungen. Diese soll in verschiedene Richtungen weiter vorangetrieben werden. Das geometrische Analogon der Vermutung von Fukaya und Kato legt eine Interpretation der -Isomorphismen als Homotopien zwischen Morphismen von K-Theorie-Spektren, eingeschränkt auf die erste Postnikov-Abschneidung, nahe. Damit erscheint eine Ausdehnung der Vermutung auf das gesamte K-Theorie-Spektrum möglich. Diesem soll weiter nachgegangen werden.Mit Blochs und Katos grundlegendem Artikel [BK90] erhielt die p-adische Hodge-Theorie über die Tamagawa-Zahl-Vermutung auch Einzug in die Iwasawa-Theorie [Kat93a]. Insbesondere spielt die Bloch-Kato-Exponentialabbildung expBK für p-adische de-Rham-Darstellungen eine zentrale Rolle in der lokalen Theorie, sei es in der lokalen (äquivarianten) Tamagawa-Zahl-Vermutung oder in Fukayas und Katos Vermutung der -Isomorphismen. Beide formulieren letztendlich die Überzeugung, dass die globale (äquivarianten) Tamagawa-Zahl-Vermutung à la Burns und Flach bzw. die Isomorphismen-Vermutung von Fukaya und Kato für ein MotivM genau dann gilt, wenn sie unter Ausnutzung von Artin-Verdier-Dualität sowie die (vermutete) Funktionalgleichung der assoziierten komplexen L-Funktion für ihr Kummer-Dual M(1) gilt.