New Applications of Combinatorics to Representation Theory and Schubert Calculus

组合数学在表示论和舒伯特微积分中的新应用

基本信息

  • 批准号:
    1855592
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 20万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Standard Grant
  • 财政年份:
    2019
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2019-09-01 至 2024-08-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

The main goal of the research is to use combinatorial structures and methods in order to perform computations in algebra (more specifically, representation theory), geometry, topology, and number theory; hidden connections between various areas are also revealed in this process. Combinatorics studies various discrete structures (such as permutations, partially ordered sets, and graphs), which are well suited for encoding complex mathematical objects and for the related computations. Representation theory is a fundamental tool for studying symmetry, by realizing the elements of abstract groups/algebras as linear transformations (of some vector spaces). The PI studies representations of Lie algebras and quantum groups, which have many applications to physics, such as calculating the probability of a particle system being in a given state at a particular time. In geometry, the PI focuses on Schubert calculus, which has its origins in enumerative geometry (e.g., counting the lines or planes satisfying a number of generic intersection conditions), but is currently related to modern areas such as quantum cohomology. Some of the models developed by the PI have been or will be implemented in the open source computer algebra system SAGE.The proposed research consists of the following main projects, to be pursued with several collaborators. (1) The PI will extend his work on uniform combinatorial models for Kirillov-Reshetikhin (KR) crystals of affine Lie algebras from the single column KR crystals to the arbitrary ones. (2) Uniform combinatorial formulas are sought for the (non-metaplectic and metaplectic) Iwahori Whittaker functions, which are a basic tool in the theory of automorphic forms. Connections with Schubert calculus will also be investigated. (3) The combinatorics of the geometric Satake correspondence (realizing geometrically the irreducible representations of reductive groups) is studied via a combinatorial decomposition of Lusztig's q-analogue of the Weyl character. (4) In Schubert calculus, the PI has several projects related to various cohomologies of generalized flag varieties. In particular, an extension of Schubert calculus beyond K-theory is pursued based on the so-called Kazhdan-Lusztig Schubert classes in hyperbolic cohomology (which gives a stalk version of the elliptic cohomology of Ginzburg-Kapranov-Vasserot); these classes were defined by the PI in previous joint work.This award reflects NSF's statutory mission and has been deemed worthy of support through evaluation using the Foundation's intellectual merit and broader impacts review criteria.
研究的主要目标是使用组合结构和方法来执行代数(更具体地说,表示理论),几何,拓扑和数论的计算;在这个过程中,各个区域之间隐藏的联系也被揭示出来。组合学研究各种离散结构(如排列、部分有序集和图),这些结构非常适合编码复杂的数学对象和相关的计算。表示理论是研究对称性的基本工具,它将抽象群/代数的元素实现为(某些向量空间的)线性变换。PI研究李代数和量子群的表示,它们在物理学中有许多应用,例如计算粒子系统在特定时间处于给定状态的概率。在几何方面,PI关注于舒伯特微积分,它起源于枚举几何(例如,计算满足若干一般相交条件的直线或平面),但目前与量子上同调等现代领域有关。PI开发的一些模型已经或将在开源计算机代数系统SAGE中实现。拟议的研究包括下列主要项目,将由若干合作者进行。(1) PI将对仿射李代数Kirillov-Reshetikhin (KR)晶体的均匀组合模型的研究工作从单列KR晶体扩展到任意列KR晶体。(2)为自同构形式理论中的基本工具Iwahori Whittaker函数(非复形和复形)寻求一致的组合公式。与舒伯特微积分的联系也将被研究。(3)通过Weyl特征的Lusztig q-analogue的组合分解,研究了几何Satake对应的组合学(从几何上实现可约群的不可约表示)。(4)在Schubert微积分中,PI有几个与广义旗种上同调有关的项目。特别地,基于双曲上同调中的Kazhdan-Lusztig Schubert类(它给出了Ginzburg-Kapranov-Vasserot的椭圆上同调的一个柄型),对Schubert演算在k理论之外的扩展进行了研究;这些类是由PI在之前的联合工作中定义的。该奖项反映了美国国家科学基金会的法定使命,并通过使用基金会的知识价值和更广泛的影响审查标准进行评估,被认为值得支持。

项目成果

期刊论文数量(6)
专著数量(0)
科研奖励数量(0)
会议论文数量(0)
专利数量(0)
Combinatorics of Generalized Exponents
广义指数的组合
Geometric properties of the Kazhdan–LusztigSchubert basis
Kazhdan–LusztigSchubert 基的几何性质
  • DOI:
    10.2140/ant.2023.17.169
  • 发表时间:
    2023
  • 期刊:
  • 影响因子:
    1.3
  • 作者:
    Lenart, Cristian;Su, Changjian;Zainoulline, Kirill;Zhong, Changlong
  • 通讯作者:
    Zhong, Changlong
Atomic decomposition of characters and crystals
角色和晶体的原子分解
  • DOI:
    10.1016/j.aim.2020.107453
  • 发表时间:
    2021
  • 期刊:
  • 影响因子:
    1.7
  • 作者:
    Lecouvey, Cédric;Lenart, Cristian
  • 通讯作者:
    Lenart, Cristian
On higher level Kirillov–Reshetikhin crystals, Demazure crystals, and related uniform models
在更高级别的基里洛夫·雷舍蒂欣晶体、德马祖尔晶体和相关的均匀模型上
  • DOI:
    10.1016/j.jalgebra.2019.07.036
  • 发表时间:
    2019
  • 期刊:
  • 影响因子:
    0.9
  • 作者:
    Lenart, Cristian;Scrimshaw, Travis
  • 通讯作者:
    Scrimshaw, Travis
Generalized quantum Yang-Baxter moves and their application to Schubert calculus
广义量子杨-巴克斯特移动及其在舒伯特微积分中的应用
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    2020
  • 资助金额:
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