Analysis and Novel Finite Element Methods for Elliptic Equations with Complex Boundary Conditions

复杂边界条件椭圆方程的分析和新颖的有限元方法

基本信息

  • 批准号:
    2208321
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 22.03万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Standard Grant
  • 财政年份:
    2022
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2022-09-01 至 2025-08-31
  • 项目状态:
    未结题

项目摘要

Partial differential equations (PDEs) with complex boundary conditions (CBCs) are essential models across scientific disciplines. By CBCs, we mean boundary conditions (BCs) that are more complex than the basic Dirichlet or Neumann BC with regular boundary data that are usually adopted for the illustration and theoretical study of general-purpose numerical algorithms. These CBCs often lead to different types of singular solutions that severely deteriorate the efficacy of the numerical approximation. This project will develop simple, efficient, and robust numerical methods for problems with CBCs that appear in important applications. For example, in structural mechanics, low regularity boundary data (e.g., discontinuities or distributions) are used to model sudden changes of loads or concentrated forces acting on the boundary; the Robin BC, combined with the Dirichlet BC, is used to model the impedance BC that occurs in complete electrode models, in singularly perturbed radiation problems, and in embedding of quantum structures into a macroscopic flow; the Ventcel BCs are used to model heat conduction processes; and CBCs involving high-order differential operators are essential for biharmonic equations to model the static loading of a thin plate. It is also noted that different CBCs are important for models in fluid dynamics, electromagnetic fields, and fluid-structure interactions in hemodynamics applications. In addition, the PI expects that the project's educational component will demonstrate exciting innovations in scientific computing and encourage the future workforce from diverse backgrounds to pursue education in STEM fields.The research project is on regularity analysis and on the development of finite element methods (FEMs) solving 2nd-order and 4th-order elliptic (PDEs) with CBCs. For 2nd-order PDEs, the CBCs include low regularity boundary data and various BCs (e.g., Dirichlet, Neumann, mixed, Robin, and Ventcel). For 4th-order PDEs, the CBCs under consideration are classical BCs especially associated with the biharmonic operator. These CBCs, together with the domain geometry, give rise to some of the most common solution singularities in practice. Addressing key analytical and computational issues, this research has two main components. (I) Innovative numerical algorithms. The PI will develop FEMs that are simple (easy to implement), efficient (effective in numerical approximation), and robust (applicable to general polygonal or polyhedral domains) for various singular solutions due to CBCs. (II) Rigorous theoretical investigation and applications. The PI will devise new analytical tools to justify and broaden the applications of the proposed FEMs. This includes (i) new well-posedness and regularity estimates for problems with CBCs; (ii) optimal error analysis; (iii) extensions to 3D and other practical models; (iv) efficient implementations in high-performance computing environments.This award reflects NSF's statutory mission and has been deemed worthy of support through evaluation using the Foundation's intellectual merit and broader impacts review criteria.
具有复杂边界条件的偏微分方程(PDEs)是跨学科的重要模型。通过CBCs,我们指的是比基本的Dirichlet或Neumann BC更复杂的边界条件(BC),具有通常用于通用数值算法的说明和理论研究的规则边界数据。这些cbc通常会导致不同类型的奇异解,从而严重降低数值近似的有效性。本项目将开发简单、高效、鲁棒的数值方法来解决在重要应用中出现的CBCs问题。例如,在结构力学中,低规则边界数据(例如,不连续或分布)用于模拟作用在边界上的载荷或集中力的突然变化;Robin BC与Dirichlet BC结合,用于模拟在完全电极模型、奇摄动辐射问题和将量子结构嵌入宏观流动中出现的阻抗BC;Ventcel BCs用于模拟热传导过程;而涉及高阶微分算子的CBCs对于模拟薄板静载荷的双调和方程是必不可少的。还指出,不同的CBCs对于流体动力学、电磁场和血流动力学应用中的流固相互作用模型很重要。此外,PI希望该项目的教育部分将展示科学计算方面令人兴奋的创新,并鼓励来自不同背景的未来劳动力在STEM领域接受教育。本课题的研究方向是正则性分析和发展求解二阶和四阶带CBCs椭圆方程的有限元方法。对于二阶偏微分方程,CBCs包括低规则边界数据和各种bc(例如,Dirichlet, Neumann, mixed, Robin和Ventcel)。对于四阶偏微分方程,考虑的CBCs是典型的CBCs,特别是与双调和算子相关的CBCs。这些cbc与域几何一起,在实践中产生了一些最常见的解奇点。针对关键的分析和计算问题,本研究有两个主要组成部分。(一)创新数值算法。PI将开发简单(易于实现),高效(在数值近似中有效)和鲁棒(适用于一般多边形或多面体域)的fem,用于由CBCs引起的各种奇异解。(二)严谨的理论研究和应用。指数将设计新的分析工具,以证明建议的fem的合理性和扩大其应用范围。这包括(i)对CBCs问题的新的适定性和规律性估计;(ii)最优误差分析;(iii) 3D和其他实用模型的扩展;(iv)在高性能计算环境中的高效实现。该奖项反映了美国国家科学基金会的法定使命,并通过使用基金会的知识价值和更广泛的影响审查标准进行评估,被认为值得支持。

项目成果

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