Limit theorems for long-time behavior of diffusion processes

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一次元拡散過程の準定常分布を中心として研究を行い、またそこから得たアイデアを応用し、負の跳びをもたないレヴィ過程、マルコフ連鎖に対し、準定常分布の研究を行った。一次元拡散過程の非極小な準定常分布の吸引域は、これまでごく少数の例に対してのみ知られていた。本研究では最小到達一意性という概念を導入し、その性質のもとで、非極小な準定常分布への収束は生存時間の裾から決まることを示した。この結果を応用することで、これまで知られていた例を含む、より広い範囲の一次元拡散過程に対し、その非極小な準定常分布の吸引域を求めた。この結果は学術雑誌に投稿し掲載された。より一般の一次元拡散過程に対する準定常分布への収束に関し、更新力学的アプローチと一次元拡散過程のポテンシャル論を組み合わせて考察を行った。更新力学的アプローチとは更新変換と呼ばれる確率測度の空間の上のある写像の反復合成を通じて確率過程の長時間挙動を考察する方法である。これにより、準定常分布への収束は更新変換の反復の収束の十分条件であること、および更新変換の反復の収束が生存時間のモーメントに関する単純な条件と同値であることを示した。この結果は学術雑誌に投稿し掲載が決定した。負の跳びをもたないレヴィ過程に対し、一次元拡散過程の準定常分布に対する手法のアナロジーを用いて準定常分布の存在の必要十分条件を与え、その集合を確定した。負の跳びをもたないレヴィ過程の非極小な準定常分布に関する研究はほとんどなく、この研究がその端緒となることが期待される。この結果は学術雑誌に投稿し掲載された。負の跳びをもたないマルコフ連鎖に対し、一般化スケール関数を用いることで一次元拡散過程と負の跳びをもたないレヴィ過程に対する手法を、このクラスのマルコフ連鎖に拡張し、準定常分布の存在の必要十分条件を与え、その集合を確定した。この結果は現在投稿準備中である。